Спроектируем сферу $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ из точки $(0,0,1)$ на плоскость $z=0$ (стереографическая

проекция); пусть точка ( $X, Y$ ) на плоскости – проекция точки сферы с координатами $(x, y, z)$ (рис. 6). Тогда, как легко видеть,
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{x}{X}=\frac{y}{Y}=\frac{1-z}{1} ; \quad X=\frac{x}{1-z}, \quad Y=\frac{y}{1-z} ; \\
x=\frac{2 X}{X^{2}+Y^{2}+1}, \quad y=\frac{2 Y}{X^{2}+Y^{2}+1} ; \\
z=\frac{X^{2}+Y^{2}-1}{X^{2}+Y^{2}+1} ; \quad 1-z=\frac{2}{X^{2}+Y^{2}+1} .
\end{array}\right\}
\]

Простой подсчет дает
\[
d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}=\frac{4\left(d X^{2}+d Y^{-2}\right)}{\left(X^{2}+Y^{2}+1\right)^{2}}=\frac{4 d Z d \bar{Z}}{(Z \bar{Z}+1)^{2}},
\]

где $Z=X+i Y$ и черточка означает комплексное сопряженное.

Преобразование $Z \rightarrow Z^{\prime}$ на плоскости вызывает преобразование единичной сферы в себя $(x, y, z) \rightarrow\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$. Оно будет жестким (т. е. движением твердого тела), если сохраняется элемент $d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}$, т. е. если
\[
\frac{d Z^{\prime} d \bar{Z}^{\prime}}{\left(Z^{\prime} \bar{Z}^{\prime}+1\right)^{2}}=\frac{d Z d \bar{Z}}{(Z \bar{Z}+1)^{2}} .
\]

Легко убедиться, что это условие выполняется при преобразовании
\[
Z^{\prime}=\frac{p Z+q}{-\bar{q} Z+\bar{p}},
\]

где $p, q$ – произвольные комплексные числа (стереографические параметры), удовлетворяющие условию
\[
p \bar{p}+q \bar{q}=1,
\]

так что три из них могут быть заданы произвольно.
Вычисление показывает, что
\[
\frac{1}{Z^{\prime} \bar{Z}+1}=\frac{(\bar{q} Z-\bar{p})(q \bar{Z}-p)}{Z \bar{Z}+1},
\]

и отсюда, принимая во внимание (13.1), получим формулы
\[
\left.\begin{array}{rl}
x^{\prime}+i y^{\prime} & =\frac{2 Z^{\prime}}{Z^{\prime} \bar{Z}^{\prime}+1}= \\
& =p^{2}(x+i y)-q^{2}(x-i y)-2 p q z, \\
x^{\prime}-i y^{\prime} & =\bar{p}^{2}(x-i y)-\bar{q}^{2}(x+i y)-2 \overline{p q} \bar{z}, \\
z^{\prime} & =\frac{Z^{\prime} \bar{Z}-1}{Z^{\prime} \bar{Z}^{\prime}+1}= \\
=p \bar{q}(x+i y)+\bar{p} q(x-i y)+(p \bar{p}-q \bar{q}) z .
\end{array}\right\}
\]

Итак, мы имеем преобразование $r^{\prime}=M r$, матрица $M$ которого такова:
$\boldsymbol{M}=$
\[
=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{1}{2}\left(p^{2}+\bar{p}^{2}-q^{2}-\bar{q}^{2}\right) & \frac{1}{2} i\left(p^{2}-\overline{p^{2}}+q^{2}-\bar{q}^{2}\right) & -p q-\overline{p q} \\
\frac{1}{2} i\left(-p^{2}+\bar{p}^{2}+q^{2}-\bar{q}^{2}\right) & \frac{1}{2}\left(p^{2}+\bar{p}^{2}+q^{2}+\bar{q}^{2}\right) & i(p q-\overline{p q}) \\
\bar{p} q+\bar{p} q & i(p \bar{q}-\bar{p} q) & p \bar{p}-q \bar{q}
\end{array}\right) .
\]

Преобразование $\boldsymbol{r} \rightarrow \boldsymbol{r}^{\prime}$, как нетрудно заметить, является жестким преобразованием единичной сферы в себя, но так как оно линейно и однородно, то оно предетавляет жесткое вращение всего пространства.

Некоторые свойства вращения очевидны из формулы (13.4). Так, если в (13.4) подставить $Z=-q / p$, то $Z^{\prime}=0$; следовательно, точка на единичной сфере, соответствующая точке $Z=-q / p$ на плоскости, переходит при этом преобразовании в точку $(0,0,-1)$. Аналогично, подстановка $Z=\bar{p} / \bar{q}$ дает $Z^{\prime}=\infty$, так что соответствующая точка сферы переходит в $(0,0,1)$. Ось вращения может быть найдена, если положить $Z^{\prime}=Z$ и решить получающееся таким образом квадратное уравнение.

Мы свяжем параметры Эйлера $(\lambda, \mu, v, \varrho)$ со стереографическими параметрами ( $p, q)^{1}$ ), сравнив матрицы (10.9) и (13.8); ранее мы выразили ( $\lambda, \mu, v, \varrho)$ через углы Эйлера $(\vartheta, \varphi, \psi)$ формулами (11.7), если $\varepsilon=1$.

Существует, конечно, неопределенность в выборе знака в выражениях параметров Эйлера через стереографические параметры, потому что матрица (13.8) не изменяется, если одновременно изменить знаки $p$ и $q$. Выбирая определенный знак, получим
\[
\left.\begin{array}{l}
p=\varrho+i v=\cos \frac{1}{2} \vartheta e^{\frac{1}{2} i(\varphi+\psi)}, \\
q=i \lambda-\mu=-\sin \frac{1}{2} \vartheta e^{\frac{1}{2} i(\varphi-\psi)} .
\end{array}\right\}
\]

Параметры Кәли – Клейна ( $\alpha, \beta, \gamma, \delta)$ определяются следующими формулами ${ }^{1}$ ):
\[
\begin{array}{l}
\alpha=p=\varrho+i v=\cos \frac{1}{2} \vartheta e^{\frac{1}{2} i(\varphi+\psi)}, \\
\beta=-i q=\lambda+i \mu=i \sin \frac{1}{2} \vartheta e^{\frac{1}{2} i(\varphi-\psi)}, \\
\gamma=-i \bar{q}=-\lambda+i \mu=i \sin \frac{1}{2} \vartheta e^{-\frac{1}{2} i(\varphi-\psi)}, \\
\delta=\bar{p}=\varrho-i
u=\cos \frac{1}{2} \vartheta e^{-\frac{1}{2} i(\varphi+\psi)} .
\end{array}
\]

Вследствие (13.5) они удовлетворяют условию унимодулярности:
\[
\left|\begin{array}{ll}
\alpha & \beta \\
\gamma & \delta
\end{array}\right|=\alpha \delta-\gamma \beta=1 ;
\]

воспользовавшись этими обозначениями, можно записать матрицу (10.9) или (13.8) в виде
\[
\boldsymbol{M}=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{1}{2}\left(\alpha^{2}-\beta^{2}-\mid \gamma^{2}+\delta^{2}\right) & \frac{1}{2} i\left(\alpha^{2}-\beta^{2}+\gamma^{2}-\delta^{2}\right) & -\varepsilon(\alpha \beta+\gamma \delta) \\
\frac{1}{2} i\left(-\alpha^{2}-\beta^{2}+\gamma^{2}+\delta^{2}\right) & \frac{1}{2}\left(\alpha^{2}-\beta^{2}-\gamma^{2}+\delta^{2}\right) & -\alpha \beta+\gamma \delta \\
i(\alpha \gamma+\beta \delta) & -\alpha \gamma+\beta \delta & \alpha \delta+\beta \gamma
\end{array}\right) .
\]