Рассмотрим следующую систему $N$ линейных дифференциальных уравнений с действительными постоянными коэффициентами
\[
a_{\rho \sigma} \ddot{q}^{\sigma}+c_{\rho \sigma} \dot{q}^{\sigma}+b_{\rho \sigma} q^{\sigma}=0 .
\]

Такие уравнения встречаются при изучении диссипативных и гироскопических систем, а также в теории электрических контуров. Мы рассматриваем их как точные уравнения хотя на практике они могут быть только

линейными приближениями более сложных точных уравнений. Нас интересует устойчивость решений системы (103.1); случай, когда $c_{\rho \sigma}=0, a_{\rho \sigma}=a_{\sigma \rho}$ и $b_{\rho \sigma}=b_{\sigma \rho}$, уже изучен в § 101.

Рассмотрим систему, кинетическая и потенциальная энергии которой определяются выражениями
\[
T=\frac{1}{2} a_{\rho \sigma} \dot{q}^{\rho} \dot{q}^{\sigma}, \quad V=\frac{1}{2} b_{\rho \sigma} q^{\rho} q^{\sigma} .
\]

Если, кроме обобщенной силы $-\partial V / \partial q_{\rho}$, приложена сила трения (затухание),
\[
Q_{\rho}=-c_{\rho \sigma} \dot{q}^{\sigma},
\]

то уравнения движения принимают форму (103.1); отсюда имеем
\[
\frac{d}{d t}(T+V)=Q_{\rho} \dot{q}^{\rho}=-c_{\rho \sigma} \dot{q}^{\rho} \dot{q}^{\sigma} .
\]

Если мы принимаем естественное предположение, что работа демпфирующей силы затухания отрицательна, то квадратичная форма $c_{\rho \sigma} \dot{q}^{0} \dot{q}^{\sigma}$ – положительно определенная и величина $T+V$ постоянно убывает. Если система устойчива при отсутствии затухания, т. е. если $V$ положительно определенная функция, то при затухании устойчивость не нарушается. Но если система без затухания неустойчива, то без привлечения изложенных ниже общих соображений нельзя сказать определенно, вызовет ли затухание устойчивость.

Уравнения в форме (103.1) получаются также для системы, имеющей лагранжиан вида
\[
L=\frac{1}{2} a_{\rho \sigma} \dot{q}^{\rho} \dot{q}^{\sigma}+d_{\rho \sigma} \dot{q}^{\rho} q^{\sigma}-\frac{1}{2} b_{\rho \sigma} q^{\rho} q^{\sigma} .
\]

Мы имеем здесь кососимметричную матрицу
\[
c_{\rho \sigma}=d_{\rho \sigma}-d_{\sigma \rho} .
\]

Лагранжиан такого вида встречается при рассмотрении реономных систем или в задаче с.игнорируемыми коор-

динатами, в частности, в случае гироскопических систем. Поэтому устойчивость, возникающая благодаря наличию среднего члена в уравнении (103.1), называвтся гироскопической ${ }^{1}$ ).

Продолжаем исследовать устойчивость решений уравнения (103.1), подставив
\[
q^{\rho}=\alpha^{\rho} e^{s t},
\]

где все $\alpha$ и $s$ – постоянные. Исключая первые величины, получим детерминантное уравнение для
\[
\Delta(s)=\operatorname{det}\left(a_{\rho \sigma} s^{2}+c_{\rho \sigma} s+b_{\rho \sigma}\right)=0 .
\]

Критерий устойчивости. таков: для устойчивости каждый корень этого уравнения должен иметь неположительную действительную часть ${ }^{2}$ ).

Легко установить следующий результат, отмеченный уже в связи с (103.4). Если $a_{\rho \sigma}=a_{\sigma \rho}, b_{\rho \sigma}=b_{\sigma \rho}$ (но $c_{\rho \sigma}
eq c_{\sigma \rho}$, вообе говоря), и если три квадратичные формы
\[
A=a_{\rho \sigma} q^{\rho} q^{\sigma}, \quad B=b_{\rho \sigma} q^{\rho} q^{\sigma}, \quad C=c_{\rho \sigma} q^{\rho} q^{\circ}
\]

все положительно определенные, то система устойчива. Для того чтобы доказать это, заметим, что положительная определенность $B$ заключает в себе условие $\operatorname{det} b_{\rho \sigma}
eq 0$ и поэтому (103.8) не имеет корней, равных нулю. Тогда для любого корня $s$ имеем
\[
\left(s a_{\rho \sigma}+c_{\rho \sigma}+s^{-1} b_{\rho \sigma}\right) \alpha^{\sigma}=0
\]

для некоторого не обращающегося в нуль (комплексного) вектора $\alpha^{\sigma}$. Умножая это выражение на комплексное сопряженное $\bar{\alpha}^{\rho}$ и складывая полученное таким образом уравнение с сопряженным ему, получаем следующее уравнение:;
\[
(s+\bar{s}) A^{\prime}+2 C^{\prime}+\left(s^{-1}+\bar{s}^{-1}\right) B^{\prime}=0,
\]

где
\[
A^{\prime}=a_{\rho \sigma} \bar{\alpha}^{\rho} \alpha^{\sigma}, B^{\prime}=b_{\rho \sigma} \bar{\alpha}^{\rho} \alpha^{\sigma}, 2 C^{\prime}=c_{\rho \sigma} \bar{\alpha}^{\rho} \alpha^{\sigma}+c_{\rho \alpha} \alpha^{\rho} \bar{\alpha}^{\sigma} .
\]

Уравнение можно переписать в виде
\[
(s+\bar{s})\left(A^{\prime}+\frac{B^{\prime}}{s \bar{s}}\right)+2 C^{\prime}=0,
\]

откуда получаем $\dot{s}+\bar{s}<0$ (условие, заключающее в себе устойчивость), так как положительная определенность форм $A, B, C$ означает, что $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ положительны,

Обратимся к детерминантному уравнению (103.8), не накладывая никаких ограничений на матрицы $a_{\rho \sigma}$, $b_{\rho \sigma}, c_{\rho \sigma}$, за исключением одного условия:
\[
\operatorname{det} a_{\rho \sigma}>0 \text {. }
\]

Тогда, разлагая детерминант, мы получаем алгебраическое уравнение стецени $2 N$, в котором коэффициент при $\dot{s}^{2 N}$ положителен. Мы отыскиваем необходимое и достаточное условие отрицательности действительных тастей корней этого уравнения (это несколько более сильное условие, чем требование устойчивости, для которой достаточно также равенства действительных частей корней нулю).

В рассуждениях, которые следуют ниже ${ }^{1}$ ), четность степени уравнения не играет роли; удобно написать уравнение для $s$ в следующем виде:
\[
f(s)=a_{0} s^{n}+a_{1} s^{n-1}+\ldots=0, \quad a_{0}>0 .
\]

Если в комплексной плоскости $s$ пробегает мнимую ось от $-\infty$ до $+\infty$, то приращение $\arg f(s)$ точно равно $\pi$-кратному числа корней с отрицательными действительными частями функции $f(s)=0$. Для того чтобы использовать этот факт, пишем $s=i y$ и
\[
f(s)=f(i y)=i^{n}\left(P_{n}-i P_{n-1}\right),
\]

где
\[
\left.\begin{array}{rl}
P_{n} & =a_{0} y^{n}-a_{2} y^{n-2}+\ldots, \\
P_{n-1} & =a_{1} y^{n-1}-a_{3} y^{n-3}+\ldots
\end{array}\right\}
\]

Таким образом, для $s$, пробегающих мнимую ось, имеем
\[
\arg f(s)=\frac{1}{2} n \pi-\operatorname{arctg} \frac{P_{n-1}}{P_{n}},
\]

и если все нули функции $f(s)$ имеют отрицательные действительные части, то $\operatorname{arctg}\left(p_{n-1} / p_{n}\right)$ уменьшается на $n \pi$,
Рис. 49. Сцепленные полиномы.

когда $y$ пробегает значения от $-\infty$ до $+\infty$. Это имеет место тогда и только тогда, когда полиномы ( $p_{n}, p_{n-1}$ ) сцеплены в следующем смысле:
I) Все нули $p_{n}(y)$ действительные.
II) Все нули $p_{n-1}(y)$ действительные и разделяют нули полинома $p_{n}(y)$.
III) Взаимоотношение $P_{n}$ и $P_{n-1}$ показано на рис. 49; $P_{n-1}$ – положителен в точке $A$ и отрицателен в точке $B$. Точки $A$ и $B$ – последовательные нули полинома $P_{n}$, и полином $P_{n}$ между ними положителен. Это отношение эквивалентно условию, что $P_{n}$ и $P_{n-1}$ имеют один и тот же знак в пределе при $y \rightarrow+\infty$ (на рис. 49 $\operatorname{arctg}\left(P_{n-1} / P_{n}\right)$ уменьшается на $\pi$, при переходе от $A$ к $B$ ).

Соответственно вопрос об отрицательности действительных частей нулей функции $f(s)$ эквивалентен вопросу о сдеплении $\left(P_{n}, P_{n-1}\right.$. Для того, чтобы обсудить это, изменим обозначения, положив
\[
\left.\begin{array}{rl}
P_{n} & =A_{n} y^{n}+B_{n} y^{n-2}+\ldots \\
P_{n-1} & =A_{n-1} y^{n-1}+B_{n-1} y^{n-3}+\ldots
\end{array}\right\}
\]

Определим последовательность полиномов $P_{n-2}, P_{n-3}, \ldots$ $\ldots, P_{0}$ и последовательность чисел $A_{n-2}, A_{n-3}, \ldots, A_{0}$ (коэффициентов при наивысших степенях переменных в этих полиномах) следующими формулами:
\[
\begin{array}{l}
P_{1}=A_{1} y \quad=A_{3} y P_{2}-A_{2} P_{3} \\
P_{0}=A_{0} \quad=A_{2} y P_{1}-A_{1} P_{2} \\
\end{array}
\]

Как и в (103.5), принимаем $A_{n}=a_{0}>0$. Предположим, что $\left(P_{n}, P_{n-1}\right)$ сцеплены, так что и $A_{n-1}>0$. Докажем, что тогда ( $P_{n-1}, P_{n-2}$ ) сцеплены. Для этого заметим, что из первого уравнения (103.20) следует: в любом нуле полинома $P_{n-1}$ полиномы $P_{n-2}$ и $P_{n}$ имеют противоположные знаки. Поэтому все нули $P_{n-2}$ действительные и разделяют нули $P_{n-1}$. В пределе, при $y \rightarrow+\infty, P_{n-2}$ имеет тот же знак, который он имел в наибольшем нуле полинома $P_{n-1}$. Этот знак совпадает, конечно, со знаком $-P_{n}$ в этом нуле и он ноложителен (cp. с рис. 49). Поэтому $A_{n-2}>0$, таким образом, полиномы ( $P_{n-1}, P_{n-2}$ ) сцеплены.

Продолжая шаг за шагом такое рассуждение, мы увидим, что все пары полиномов $\left(P_{n-2}, P_{n-3}\right),\left(P_{n-3}\right.$, $\left.P_{n-4}\right) \ldots\left(P_{1}, P_{0}\right)$ сцеплены $\left.{ }^{1}\right)$ (задано, что $\left.A_{n}>0\right)$, и заключаем, что сцепление полиномов ( $\left.P_{n}, P_{n_{-1}}\right)$ означает также, что
\[
A_{n-1}>0, A_{n-2}>0, \ldots A_{1}>0, A_{0}>0 .
\]

Для того чтобы доказать обратное утверждение, предположим, что имеют место условия (103.21) и $A_{n}>0$. Для больших $y$ каждый из членов правых частей фор-

мул (103.20) имеет более высокий порядок, чем соответствующие члены в левых частях этих равенств. Отсюда все полиномы $P$ имеют один и тот же положительный знак при $y \rightarrow \infty$, именно, знак $A_{0}$. Таким образом, согласно последнему уравнению (103:20), $P_{2}$ положителен на бесконечности и отрицателен в $y=0$, где $P_{1}=0$. Отсюда ( $P_{2}, P_{1}$ ) сцеплены и, продолжая эти же рассуждения, мы придем к заключению, что и ( $P_{n}, P_{n-1}$ ) также сцеплены.

Таким образом, неравенства (103.21) представляют собой необходимые и достаточные условия для сцепления полиномов $\left(P_{n}, P_{n-1}\right.$ ) или, что то же самое, для того, чтобы действительные части всех корней функции $f(s)$ были отрицательны.

Величины, входящие в (103.21), можно выразить в следующей детерминантной форме через коэффициенты функции $f(s)^{1}$ ), согласно (103.15):
\[
\begin{array}{l}
A_{n-1}=a_{1}, \quad A_{n-2}=\left|\begin{array}{ll}
a_{1} & a_{0} \\
a_{3} & a_{2}
\end{array}\right|, \quad A_{n-3}=\left|\begin{array}{ccc}
a_{1} & a_{0} & 0 \\
a_{3} & a_{2} & a_{1} \\
a_{5} & a_{2} & a_{3}
\end{array}\right| \\
A_{0}=\left|\begin{array}{llllll}
a_{1} & a_{0} & 0 & \ldots & 0 \\
a_{3} & a_{2} & a_{1} & \ldots & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{2 n-1} & a_{2 n-2} & & \ldots & a_{n}
\end{array}\right|, \\
\end{array}
\]

имея в виду при этом, что $a_{r}=0$ для $r>n$.