Рассмотрим частицу массы $m$, движущуюся под действием силы тяжести по гладкому вертикальному кругу радиуса $l$ (круговой маятник). Если $\vartheta$ – угол отклонения от направленной вниз вертикали, то полная энергия этой частицы равна
\[
\frac{1}{2} m l^{2} \dot{\vartheta}^{2}+m g l(1-\cos \vartheta)=E=\text { const },
\]

и уравнение движения имеет вид
\[
\ddot{\vartheta}+p^{2} \sin \vartheta=0, \quad p^{2}=\frac{g}{l} .
\]

Для малых амплитуд оно сводится к уравнению (33.3) для гармонического осциллятора и период колебания равен
\[
\tau=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} .
\]

Вообще мы получаем колебательное движение, если
\[
\omega_{0}=\mid \dot{\hat{v}}_{\hat{\vartheta}=0}<2 p,
\]

и движение определяется уравнением
\[
\sin \frac{1}{2} \vartheta=\sin \frac{1}{2} \alpha \operatorname{sn} p\left(t-t_{0}\right),
\]

где $\alpha$ – максимальное значение $\vartheta$, так тто
\[
\sin \frac{1}{2} \alpha=\frac{1}{2} \frac{\omega_{0}}{p} .
\]

Величина $t_{0}$ в уравнении (34.5) – произвольная постоянная и эллиптическая функция Якоби sn имеет в качестве модуля $\left.{ }^{1}\right) \sin \frac{1}{2} \alpha$.
Период колебания выражается следующим образом:
\[
\begin{aligned}
\tau=\frac{4}{p} & \int_{0}^{\frac{1}{2} \pi} \frac{d \varphi}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \varphi}}= \\
& =\frac{2 \pi}{p}\left[1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2} \cdot k^{2}+\left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^{2} k^{4}+\ldots\right],
\end{aligned}
\]

где $k=\sin \frac{1}{2} \alpha ;$ это дает с точностью до членов порядка $\alpha^{2}$
\[
\tau=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\left(1+\frac{\alpha^{2}}{16}\right) .
\]

Если $\omega_{0}>2 p$, движение уже не является колебательным, частица описывает круг за кругом по окружности. В этом случае решение ${ }^{2}$ ) таково:
\[
\sin \frac{1}{2} \vartheta=\operatorname{sn} \frac{p}{k}\left(t-t_{0}\right),
\]

где $k=2 p / \omega_{0}<1$, и модуль функции sn есть $k$.
Если $\omega_{0}=2 p$, то частица достигает наивысшей точки круга при $t=\infty$; движение определяется формулой
\[
\sin \frac{1}{2} \vartheta=\operatorname{th} p\left(t-t_{0}\right) .
\]

Для движения под действием силы тяжести по некоторой гладкой кривой в вертикальной плоскости урав-

нением движения является следующее уравнение:
\[
\ddot{s}+g \frac{d z}{d s}=0,
\]

где $s$ – длина дуги и $z$ – высота над некоторым фиксированным уровнем. Если
\[
z=k s^{2},
\]

то получаем уравнение
\[
\ddot{s}+2 g k s=0,
\]
т. е. уравнение того же вида, что и для гармонического осциллятора. Период тогда не зависит от амплитуды и кривая (34.12), которая является циклоидой, называется таутохроной для силы тяжести ${ }^{1}$ ).