При абсолютно неупругом ударе все сталкивающиеся частицы
объединяются в одну частицу с 4-импульсом
\[
M_{r}^{\prime}=\Sigma M_{r}
\]
и собственной массой $m^{\prime}$, определяемой по формуле
\[
m^{\prime 2}=-M_{r}^{\prime} M_{r}^{\prime} .
\]
Если число сталкивающихся частиц равно двум, то собственная масса одной конечной частицы определяется как
\[
m^{\prime 2}=-\left(M_{r}+\tilde{M}_{r}\right)\left(M_{r}+\tilde{M}_{r}\right)=m^{2}+\tilde{m}^{2}-2 M_{r} \tilde{M}_{r},
\]
где $m, \tilde{m}$ — собственные массы, $M_{I}, \tilde{M}_{T}$ — 4-импульсы частиц.
Если, в частности, сталкивающиеся частицы являются фотонами с частотами $v, \widetilde{v}$, движущимися в направлениях, заданных единичными векторами $n_{\rho}, \widetilde{n}_{\rho}$, то получаем
\[
m^{\prime 2}=2 \frac{h^{2} v \tilde{v}}{c^{4}}\left(1-n_{\rho} \tilde{n}_{\rho}\right)=4 \frac{h^{2} v \tilde{v}}{c^{4}} \sin ^{2} \frac{1}{2} \vartheta,
\]
где $\vartheta$ — угол между направлениями движения фотонов. Это выражение описывает рождение одной вещественной частицы из двух фотонов. Если мы употребляем систему отсчета центра инерции, то имеют место соотношения $\widetilde{v}=v, \vartheta=\pi$, а также
\[
m^{\prime} c^{2}=2 h v,
\]
что очевидно, так как конечная частица может находиться в покое и иметь энергию $m^{\prime} c^{2}$, а полная энергия фотонов равна $2 h v$.
При абсолютно неупругом ударе двух материальных частиц, движущихся со скоростями $v_{\rho}, \tilde{v}_{\rho}$, уравнение (121.3) принимает вид
\[
m^{\prime 2}=m^{2}+\tilde{m}^{2}+2 m \tilde{m} \tilde{\gamma}\left(1-\frac{v_{\rho} \tilde{v}_{\rho}}{c^{2}}\right),
\]
где
\[
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}, \quad \tilde{\gamma}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\tilde{v}^{2}}{c^{2}}}} .
\]
Легко показать, что выполняется условие
\[
\tilde{\gamma}\left(1-\frac{v_{\rho} \tilde{v}_{\rho}}{c^{2}}\right)>1
\]
(равенство наступает, если $v_{\rho}=\tilde{v}_{\rho}$, но в этом случае не имеет места столкновение) и отсюда
\[
m^{\prime}>m+\tilde{m} .
\]
Таким образом, полная собственная масса всегда возрастает при абсолютно неупругом ударе. Возрастание полной собственной энергии равно
\[
m^{\prime} c^{2}-m c^{2}-\tilde{m} c^{2} ;
\]
если абсолютные значения скоростей сталкивающихся частиц малы по сравнению со скоростью света $c$, то легко показать, что это возрастание равно приблизительно количеству тепла, выделяющемуся при таком столкновении согласно ньютоновой динамике (ср. § 58, 59).
Аналогично исследуется абсолютно неупругое столкновение материальной частицы и фотона. Он представляет собой поглощение фотона материальной частицей. Здесь также полная собственная масса возрастает; так как собственная масса фотона равна нулю, то это означает, что получена материальная частица с большей собственной массой, чем масса исходной сталкивающейся материальной частицы.
Упругий удар характеризуется двумя условиями:
I) Число частиц остается неизменным.
II) Собственная масса каждой частицы остается неизменной.
Результат упругого столкновения двух материальных частид очень легко описать с помощью системы отсчета центра масс. Абсолютные величины скоростей частиц не
изменяются и они расходятся после столкновения в противоположных направлениях, причем эти направления не определяются законом сохранения. На рис. 55 показана векторная диаграмма в пространстве $P H$. При упругом столкновении материальной частицы и фотона (комптонэффект, см. § 122) частота фотона не изменяется, когда применяется система отсчета центра масс.
