Пусть $L-$ некоторая прямая и пусть $L_{0}$ – параллельная ей прямая, проходящая через центр масс системы. Теорема о параллельных осях утверждает, что
\[
I=I_{0}+m p^{2},
\]
где $I, I_{0}$ – моменты инерции системы соответственно относительно $L, L_{0}, m$ – полная масса системы и $p-$ расстояние между параллельными прямыми $L$ и $L_{0}$. Теорему легко доказать; имеет место и аналогичная теорема для произведений инерции.
Из формулы (22.1) следует, что момент инерции относительно прямой $L_{0}$, проходящей через центр масс, меньше, чем момент инерции относительно любой прямой $L$, параллельной $L_{0}$.
Главные оси определяются через стационарные значения моментов инерции. Каждому единичному вектору $V$,
проходящему через начало координат (которым может быть любая точка), соответствует момент инерции $I$ вида (21.6). Направляющие косинусы $(l, m, n)$ вектора $V$, для которого $I$ имеет стационарное значение, удовлетворяют равенствам
\[
\left.\begin{array}{rl}
A l-H m-G n & =H, \\
-H l+B m-F n & =I m, \\
-G l-F m+C n & =I n,
\end{array}\right\}
\]
где $I$ – указанное стационарное значение. Три әлавных момента инерции относительно начала координат являются теми стационарными значениями, которые равны корням кубического детерминантного уравнения:
\[
\left|\begin{array}{lll}
A-I & -H & -G, \\
-H & B-I & -F \\
-G & -F & C-I
\end{array}\right|=0 .
\]
Три корня этого уравнения действительные и положительные: действительные – так как матрица (21.7) симметрична, и положительные – так как квадратичная форма (21.6) положительно определенная ${ }^{1}$ ).
Направхения, определенные формулами (22.2), для которых $I$ принимает какое-либо одно из значений, полученных решением уравнения (22.3), называются главными осями инерции относительно начала координат. Эти оси образуют ортогональный триэдр ${ }^{2}$ ), и три плоскости, определенные им, называются главными плоскостями. Произведения инерции относительно главных плоскостей равны нулю и поэтому (поскольку это значительно упрощает расчеты) почти всегда оси координат
выбираются совпадающими с главными осями инерции. Тогда инерциальные свойства системы описываются тремя лавными моментами инерции $A, B, C$. Момент инерции относительно произвольной прямой, проходящей через начало координат и имеющей направляющие косинусы $(l, m, n)$, определяется формулой
\[
I=A l^{2}+B m^{2}+C n^{2} .
\]
Для геометрического представления инерциальных свойств системы используют эллипсоид инерции ${ }^{1}$ ), уравнение которого имеет вид
\[
A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}-2 F y z-2 G z x-2 H x y=1 .
\]
Момент инерции относительно прямой $L$, проходящей через начало координат, равен $1 / r^{2}$, где $r$ – радиусвектор этого эллипсоида, проведенный вдоль направления $L$.
Два распределения масс называются равномоментными, если их моменты инерции относительно произвольной прямой равны. Отсюда следует, что две равномоментные системы имеют общий центр масс, одну и ту же полную массу, одни и те же главные моменты инерции. Справедливо также и обратное.
Однородная треугольная пластинка с массой $m$ равномоментна системе из трех частиц с массами $m / 3$, помещенными в серединах сторон этого треугольника. Однородный тетраэдр с массой $m$ равномоментен системе пяти тастиц, одна из которых, с массой $4 \mathrm{~m} / 5$, помещена в центре масс, а остальные четыре, каждая с массой $m / 20$, расположены в вершинах тетраэдра ${ }^{2}$ ).
