Пусть некоторая прямая и пусть — параллельная ей прямая, проходящая через центр масс системы. Теорема о параллельных осях утверждает, что
где — моменты инерции системы соответственно относительно — полная масса системы и расстояние между параллельными прямыми и . Теорему легко доказать; имеет место и аналогичная теорема для произведений инерции.
Из формулы (22.1) следует, что момент инерции относительно прямой , проходящей через центр масс, меньше, чем момент инерции относительно любой прямой , параллельной .
Главные оси определяются через стационарные значения моментов инерции. Каждому единичному вектору ,
проходящему через начало координат (которым может быть любая точка), соответствует момент инерции вида (21.6). Направляющие косинусы вектора , для которого имеет стационарное значение, удовлетворяют равенствам
где — указанное стационарное значение. Три әлавных момента инерции относительно начала координат являются теми стационарными значениями, которые равны корням кубического детерминантного уравнения:
Три корня этого уравнения действительные и положительные: действительные — так как матрица (21.7) симметрична, и положительные — так как квадратичная форма (21.6) положительно определенная ).
Направхения, определенные формулами (22.2), для которых принимает какое-либо одно из значений, полученных решением уравнения (22.3), называются главными осями инерции относительно начала координат. Эти оси образуют ортогональный триэдр ), и три плоскости, определенные им, называются главными плоскостями. Произведения инерции относительно главных плоскостей равны нулю и поэтому (поскольку это значительно упрощает расчеты) почти всегда оси координат
выбираются совпадающими с главными осями инерции. Тогда инерциальные свойства системы описываются тремя лавными моментами инерции . Момент инерции относительно произвольной прямой, проходящей через начало координат и имеющей направляющие косинусы , определяется формулой
Для геометрического представления инерциальных свойств системы используют эллипсоид инерции ), уравнение которого имеет вид
Момент инерции относительно прямой , проходящей через начало координат, равен , где — радиусвектор этого эллипсоида, проведенный вдоль направления .
Два распределения масс называются равномоментными, если их моменты инерции относительно произвольной прямой равны. Отсюда следует, что две равномоментные системы имеют общий центр масс, одну и ту же полную массу, одни и те же главные моменты инерции. Справедливо также и обратное.
Однородная треугольная пластинка с массой равномоментна системе из трех частиц с массами , помещенными в серединах сторон этого треугольника. Однородный тетраэдр с массой равномоментен системе пяти тастиц, одна из которых, с массой , помещена в центре масс, а остальные четыре, каждая с массой , расположены в вершинах тетраэдра ).