Пусть $L-$ некоторая прямая и пусть $L_0$ — параллельная ей прямая, проходящая через центр масс системы. Теорема о параллельных осях утверждает, что
$$I=I_0+m{p}^2,$$

где $I,I_0$ — моменты инерции системы соответственно относительно $L,L_0,m$ — полная масса системы и $p-$ расстояние между параллельными прямыми $L$ и $L_0$. Теорему легко доказать; имеет место и аналогичная теорема для произведений инерции.

Из формулы (22.1) следует, что момент инерции относительно прямой $L_0$, проходящей через центр масс, меньше, чем момент инерции относительно любой прямой $L$, параллельной $L_0$.

Главные оси определяются через стационарные значения моментов инерции. Каждому единичному вектору $V$,

проходящему через начало координат (которым может быть любая точка), соответствует момент инерции $I$ вида (21.6). Направляющие косинусы $(l,m,n)$ вектора $V$, для которого $I$ имеет стационарное значение, удовлетворяют равенствам
$$\begin{array}{rl}Al-Hm-Gn& =H,\\ -Hl+Bm-Fn& =Im,\\ -Gl-Fm+Cn& =In,\end{array}\}$$

где $I$ — указанное стационарное значение. Три әлавных момента инерции относительно начала координат являются теми стационарными значениями, которые равны корням кубического детерминантного уравнения:
$$\left|\begin{array}{lll}A-I& -H& -G,\\ -H& B-I& -F\\ -G& -F& C-I\end{array}\right|=0.$$

Три корня этого уравнения действительные и положительные: действительные — так как матрица (21.7) симметрична, и положительные — так как квадратичная форма (21.6) положительно определенная ${}^1$ ).

Направхения, определенные формулами (22.2), для которых $I$ принимает какое-либо одно из значений, полученных решением уравнения (22.3), называются главными осями инерции относительно начала координат. Эти оси образуют ортогональный триэдр ${}^2$ ), и три плоскости, определенные им, называются главными плоскостями. Произведения инерции относительно главных плоскостей равны нулю и поэтому (поскольку это значительно упрощает расчеты) почти всегда оси координат

выбираются совпадающими с главными осями инерции. Тогда инерциальные свойства системы описываются тремя лавными моментами инерции $A,B,C$. Момент инерции относительно произвольной прямой, проходящей через начало координат и имеющей направляющие косинусы $(l,m,n)$, определяется формулой
$$I=A{l}^2+B{m}^2+C{n}^2.$$

Для геометрического представления инерциальных свойств системы используют эллипсоид инерции ${}^1$ ), уравнение которого имеет вид
$$A{x}^2+B{y}^2+C{z}^2-2Fyz-2Gzx-2Hxy=1.$$

Момент инерции относительно прямой $L$, проходящей через начало координат, равен $1/r^2$, где $r$ — радиусвектор этого эллипсоида, проведенный вдоль направления $L$.

Два распределения масс называются равномоментными, если их моменты инерции относительно произвольной прямой равны. Отсюда следует, что две равномоментные системы имеют общий центр масс, одну и ту же полную массу, одни и те же главные моменты инерции. Справедливо также и обратное.

Однородная треугольная пластинка с массой $m$ равномоментна системе из трех частиц с массами $m/3$, помещенными в серединах сторон этого треугольника. Однородный тетраэдр с массой $m$ равномоментен системе пяти тастиц, одна из которых, с массой $4\mathrm{m}/5$, помещена в центре масс, а остальные четыре, каждая с массой $m/20$, расположены в вершинах тетраэдра ${}^2$ ).