Мы пренебрегаем здесь орбитальным движением вокруг Солнца и рассматриваем Землю как твөрдое төло, вращающееся с угловой скоростью $\mathbf{\Omega}$. Пусть $О x y z$ – прямоугольная система координат (рис. 12) с началом $O$ в точке земной поверхности. Ось $O z$ направлена вертикально вверх (т. е. по отвесной गинии) и ось $O x$ направлена на юг. Пусть орты $i$, $\boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ ортонормального триэдра направлены как осп координат этой системы. Для того чтобы исследовать движение относительно земной поверхности, будем использовать эту систему отсчета так, как если бы она была неподвижной, добавляя фиктивные силы как в уравнении (32.1). Пусть $\lambda$ – широта точки $O$ и $R$ – расстояние от тотки $O$ до земной оси. Тогда
\[
\left.\begin{array}{rl}
\boldsymbol{\Omega} & =-\Omega \cos \lambda i+\Omega \sin \lambda k \\
\boldsymbol{a}_{0} & =-R \Omega^{2} \sin \lambda i-R \Omega^{2} \cos \lambda k
\end{array}\right\}
\]
следовательно, если $r, v$ теперь означают радиус-вектор и скорость частицы в системе $O x y z$ и $\dot{v}$ – ее относительное ускорение, то, согласно выражению (32.1), имеем следующее уравнение:
\[
\begin{aligned}
m v= & \boldsymbol{F}+m R \boldsymbol{\Omega}^{2}(\sin \lambda \boldsymbol{i}+\cos \lambda k)- \\
& -2 m \Omega(-\cos \lambda \boldsymbol{i}+\sin \lambda \boldsymbol{k}) \times \boldsymbol{v}-m \boldsymbol{\Omega} \times(\boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r}),
\end{aligned}
\]
где $\boldsymbol{F}$ – действительная сила, действующая на частицу. Пусть $F_{0}$ – сила тяжести, действующая в точке $O$. Пусть $g$ определяется тем, что натяжение нити со свинцовым грузом массы $m$, подвешенным в точке $O$, равно $\mathrm{mg}$.
Тогда уравнение (42.2) удовлетворяется при
\[
\boldsymbol{F}=\boldsymbol{F}_{0}+m g k, \quad \boldsymbol{v}=0, \quad \boldsymbol{r}=0
\]
и поэтому мы имеем соотношение
\[
\boldsymbol{F}_{0}+m g k+m R \Omega^{2}(\sin \lambda i+\cos \lambda k)=0 .
\]
Вычтем теперь (42.4) из (42.2), отбросив последний член в (42.2) в силу малости $\Omega$. Это дает следующие уравнения движения:
\[
\left.\begin{array}{l}
m \ddot{x}=X+2 m \Omega \sin \lambda \cdot \dot{y} \\
m \ddot{y}=Y-2 m \Omega(\sin \lambda \cdot \dot{x}+\cos \lambda \cdot \dot{z}), \\
m \ddot{z}=Z-m g+2 m \Omega \cos \lambda \cdot \dot{y},
\end{array}\right\}
\]
где $(X, Y, Z)$ – компоненты разности между полной действительной силой, действующей на частицу, и силой тяжести, действующей на нее в точке $O$.
В случае свободной частицы (снаряд в вакууме) мы полагаем $X=Y=Z=0$, если можно пренебречь изменением силы тяжести с положением. Пренебрегая величинами порядка $\Omega^{2}$, мы получаем для частицы, начинающей двигаться от начала координат в момент времен! $t=0$ со скоростью $\left(u_{0}, v_{0}, w_{0}\right)$, следующие уравнения движения:
\[
\left.\begin{array}{c}
x=v_{0} t+\Omega v_{0} t^{2} \sin \lambda, \\
y=v_{0} t-\Omega t^{2}\left(u_{0} \sin \lambda+\omega_{0} \cos \lambda\right)+ \\
\quad+\frac{1}{3} \Omega g t^{3} \cos \lambda, \\
z=w_{0} t-\frac{1}{2} g t^{2}+\Omega v_{0} t^{2} \cos \lambda .
\end{array}\right\}
\]
В свободном падении с высоты $h$ (из состояния покоя) частица отклоняется к востоку на величину
\[
\frac{1}{3} \Omega \cos \lambda \cdot 2 h \sqrt{\frac{2 h}{g}} .
\]
Для снаряда, движущегося по настильной траектории ( $w_{0}$ – мало́), проекция радиуса-вектора на горизонтальную плоскость $O x y$ возрастает с постоянной скоростью и поворачивается также с постоянной скоростью – $\Omega \sin \lambda$; это означает отклонение направо в северном полушарии и налево – в южном (закон Фереля).
