Предположим, что мы отыскиваем все лучи или траектории и соотнесенные им векторы импульса энергии для динамической системы с уравнением энергии
\[
\Omega(x, y)=0
\]

или, что то же самое, с гамильтоновой функцией
\[
H=H(q, t, p) .
\]

Метод Якоби состоит в том, чтобы, не пытаясь прямо интегрировать обыкновенные дифференциальные уравнения движения, разрешить уравнение Гамильтона Якоби, которое в соответствии с (77.2) имеет вид
\[
\frac{\partial U}{\partial t}+H\left(q, t, \frac{\partial U}{\partial q}\right)=0 .
\]

Якоби свел задачу о движении к другой задаче: найти полный интеграл уравнения (77.3) в форме
\[
U=J\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, t, a_{1}, \ldots, a_{N}\right)+a_{N+1} .
\]

Здесь $a_{i}$ – произвольные постоянные; полный интеграл должен содержать $N+1$ постоянных величин $a_{i}$, но одна может быть аддитивной, так как в уравнение (77.3) входят только производные функции $U$.

Теорема Якоби утверждает, что если $b_{\rho}$ – некоторые постоянные, то уравнения
\[
b_{\rho}=\frac{\partial J}{\partial a_{\rho}}
\]

определяют совокунность всех лучей или траекторий, а уравнения
\[
p_{\rho}=\frac{\partial J}{\partial q_{\rho}}
\]

определяют соотнесенные им импульсы или (что то же самме), что вследствие (77.5) и (77.6) выполняются. уравнения
\[
\dot{q}_{\rho}=\frac{\partial H}{\partial p_{\rho}},
\]

म
\[
\dot{p}_{\rho}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\rho}}
\]

и что (77.5) и (77.6) содержат все решения уравнений (77.7) и (77.8).

Для того чтобы доказать это, заметим, во-первых, что $N$ уравнений системы (77.5) содержат $q_{\rho}$ и $t$ и, следовательно, определяют функции $q_{p}(t)$ для любых значений постоянных. Кроме того, система (77.6) дает соответствующие импульсы $p_{\rho}$. Производные функций $q$ и $p$ получаются дифференцированием по $t$ уравнений (77.5) и (77.6); это дает следующие уравнения:
\[
\frac{\partial^{2} J}{\partial a_{\rho} \partial q_{\sigma}} \dot{q}_{\sigma}+\frac{\partial^{2} J}{\partial a_{\rho} \partial t}=0,
\]

и
\[
\dot{p}_{\rho}=\frac{\partial^{2} J}{\partial q_{\rho} \partial q_{\sigma}} \dot{q}_{\sigma}+\frac{\partial^{2} J}{\partial a_{\rho} \partial t} .
\]

Так как функция (77.4) удовлетворяет уравнению (77.3), то для произвольных значений $a$ имеем соотнопение
\[
\frac{\partial J}{\partial t}+H\left(q, t, \frac{\partial J}{\partial q}\right)=0
\]

и, следовательно, имеют место уравнения
\[
\frac{\partial^{2} J}{\partial a_{\rho} \partial t}+\frac{\partial H}{\partial p_{\sigma}} \frac{\partial^{2} J}{\partial q_{\sigma} \partial a_{\rho}}=0 .
\]

Сравнивая эту систему с (77.9), видим, что действительно уравнения (77.7) удовлетворяются. Дифференцируя теперь (77.11) по $q_{\rho}$, получаем уравнения
\[
\frac{\partial^{2} J}{\partial q_{\rho} \partial t}+\frac{\partial H}{\partial q_{\rho}}+\frac{\partial H}{\partial p_{\sigma}} \frac{\partial^{2} J}{\partial q_{\sigma} \partial q_{\rho}}=0 .
\]

Принимая во внимание (77.7) и сравнивая полученное уравнение с (77.10), видим, что удовлетворяются и уравнения (77.8).

Так как число постоянных ( $a_{\rho}, b_{\rho}$ ) равно $2 N$ и равно числу начальных значений ( $\left.q_{\rho}, p_{\rho}\right)$, необходимых для определения решения систем ( 77.7$)$ и (77.8), то теорема Якоби доказана. Можно сказать, что любая динамическая

проблема, по существу, решена, если только может быть найден полный интеграл вида (77,4).

Если дан полный интеграл уравнений Гамильтона Якоби вида (77.4), то двухточечная характеристическая функция
\[
S\left(q_{1}^{*}, \ldots, q_{N}^{*}, t^{*}, q_{1}, \ldots, q_{N}, t\right)
\]

получается ${ }^{1}$ ) исключением $N$ постоянных $a_{\rho}$ из $N+1$ уравнений
\[
\left.\begin{array}{c}
S=J(q, t, a)-\left(q^{*}, t^{*}, a\right), \\
\frac{\partial J(q, t, a)}{\partial a_{\rho}}=\frac{\partial J\left(q^{*}, t^{*}, a\right)}{\partial a_{\rho}} .
\end{array}\right\}
\]

Соотношение между полным интегралом и двухточечной характеристической функцией тесно связано со следующим фактом. Полный интеграл дифференциального уравнения в частных производных
\[
\Omega\left(x, \frac{\partial S}{\partial x}\right)=0,
\]
(назовем его $S\left(x^{*}, x\right)$ ) (в котором $x_{r}^{*}-$ произвольные постоянные) можно рассматривать так же как любое репение того же уравнения, если принять за независимые переменные $2 N+2$ величины $x_{r}$ и $x_{r}^{*}$, из которых переменные $x_{r}^{*}$ не входят явно в уравнение. Какую бы точку зрения мы не приняли, мы придем к фундаментальному детерминантному уравнению вида (73.1)
\[
\operatorname{det} \frac{\partial^{2} S}{\partial x_{\tau} \partial x_{s}^{*}}=0 .
\]

Теорему Якоби можно сформулировать в следующей симметричной форме. Пусть $S\left(x^{*}, x\right)$ – полный интеграл уравнения
\[
\Omega\left(x, \frac{\partial S}{\partial x}\right)=0
\]

а величины $x_{r}^{*}$ – произвольные постоянные. Тогда, определяя $y_{r}$ как
\[
y_{r}=\frac{\partial S}{\partial x_{r}},
\]

имеем уравнения
\[
\frac{\partial \Omega}{\partial y_{s}} \frac{\partial^{2} S}{\partial x_{s} \partial x_{r_{l}}^{*}}=0
\]

и
\[
\frac{\partial \Omega}{\partial x_{r}}+\frac{\partial \Omega}{\partial y_{s}} \frac{\partial^{2} S}{\partial x_{s} \partial x_{r}}=0 .
\]

Определим $y_{r}^{*}$ следующим образом:
\[
y_{r}^{*}=-\frac{\partial S}{;} .
\]

Теперь система (77.19) заключает в себе детерминантное уравнение (77.16), а поэтому (77.21) содержит в себе некоторое соотношение между величинами $x_{r}^{*}$ и $y_{r}^{*}$, имеющее вид
\[
\Omega^{*}\left(x^{*}, y^{*}\right)=0 .
\]

Если задать этим переменным произвольные постоянные значения, совместные с этим уравнением, то уравнения
\[
y_{r}=\frac{\partial S\left(x^{*}, x\right)}{\partial x_{r}}, \quad y_{r}^{*}=-\frac{\partial S\left(x^{*}, x\right)}{\partial x_{r}^{*}}
\]

определяют кривую $x_{r}(w)$ и соотнесенный ей вектор $y_{r}(w)$, удовлетворяющие (при некотором параметре $w$ ) уравнениям
\[
\frac{d x_{r}}{d w}=\frac{\partial \Omega(x, y)}{\partial y_{r}}, \quad \frac{d y_{r}}{d w}=-\frac{\partial \Omega(x, y)}{\partial x_{r}} .
\]

Для того чтобы доказать это утверждение, продифференцируем (77.23) по $w$; получим таким образом
\[
\frac{\partial y_{r}}{\partial w}=\frac{d^{2} S}{\partial x_{r} d x_{s}} \frac{d x_{s}}{d w}, \quad 0=\frac{\partial^{2} S}{\partial x_{r} \partial x_{s}} \frac{d x_{s}}{d w} .
\]
Доказательство следует из сравнения этих уравнений с (77.19) и (77.20). Нужно отметить, что в действительности нам не нужно уравнение (77.22), ибо для того, чтобы определить кривую и соотнесенный ей вектор $y_{r}$, требуется только $2 N+1$ уравнений. За эти уравнения можно принять (77.23), отбросив одно уравнение второй группы, так что в уравнения входят толъко $N$ величин $y_{r}^{*}$; этим величинам и $x_{r}^{*}$ можно задать произвольные значения.