Рассмотрим частицу с постоянной собственной массой $m$ и зарядом $e$, движущуюся в поле заряда $e^{\prime }$ противоположного знака, помещенного в начале координат. Если $e$, $e^{\prime }$ измерены в гауссовых электростатических единицах, то поле п 4-потенциал определяются уравнениями
$$\begin{array}{c}{E}_{\rho }=i{F}_{\rho 4}=\frac{e^{\prime }{x}_{\rho }}{r^3},F_{\rho \sigma }^{\prime }=0,\\ {\phi }_{\rho }=0,{\phi }_4=\frac{i{e}^{\prime }}{r}.\end{array}\}$$

Уравнения движения приводят к следующим соотношениям:
$$\frac{d}{dt}(\gamma v)=-\frac{kr}{r^3},\frac{d}{dt}\left(\gamma c^2\right)=-\frac{k}{r^3}v\cdot r,$$

где $\mathit{r}$ — радиус-вектор движущегося заряда и
$$k=-\frac{e{e}^{\prime }}{m}>0\text{. }$$

Отсюда следует, что движение плоское и если ввести полярные координаты $(r,\vartheta )$ в плоскости орбиты, то получим

интеграл момента количества движения
$$\gamma r^2\dot{v}=A,$$

и интеграл энергии
$$\gamma c^2-\frac{k}{r}=W,$$

где $A$ и $W$ — постоянные. Полагая $\varrho =1/r$ и исключая время, получим уравнение орбиты в следующей форме ${}^1$ ):
$$\frac{d^2\varrho }{d{\vartheta }^2}+(1-\frac{k^2}{A^2{c}^2})\varrho =\frac{Wk}{A^2{c}^2}.$$

Предиолагая, что коэффициент е положителен и полагая
$$p=\sqrt{1-\frac{k^2}{A^2{c}^2}},$$

получим уравнение орбиты в форме
$$\frac{1}{r}=\varrho =\frac{c}{A{p}^2}[{(\frac{W^2}{c^4}-p^2)}^{1/2}\cos (p\vartheta +C)+\frac{kW}{A{c}^3}],$$

где $C$ — постоянная.
Условие конечности орбиты есть
$$-c^2<W<c^2\text{. }$$

Конечную орбиту можно рассматривать как вращающийся эллипс, один фокус которого находится в начале координат, а перемещение перигелия за один оборот равно
$$2\pi (\frac{1}{p}-1)\text{. }$$

Если скорость мала, то эта величина равна приближенно
$$\frac{\pi k^2}{A^2{c}^2}=\frac{4{\pi }^3{a}^2}{c^2{\tau }^2(1-{\epsilon }^2)},$$

где $a$ — большая полуось эллипса, $\tau$ — период, $\epsilon$ — эксцентриситет. Это выражение дает одну шестую часть вращения, определяемого общей теорией относительности для движения планеты в гравитационном поле Солнца.

Решение релятивистской проблемы Кеплера может быть получено также методом разделения переменных в уравнении Гамильтона — Якоби ${}^1$ ). При переходе к полярным координатам $(r,\vartheta ,\phi )$ уравнение (115.5) преобразуется к следующему:
$$\begin{array}{rl}-\frac{1}{c^2}{(\frac{\partial S}{\partial t}-V)}^2& +{\left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)}^2+\frac{1}{r^2}{\left(\frac{\partial S}{\partial \vartheta }\right)}^2+\\ & +\frac{1}{r^2{\sin }^2\vartheta }{\left(\frac{\partial S}{\partial \phi }\right)}^2+m^2{c}^2=0\end{array}$$

где
$$V=\frac{e{e}^{\prime }}{r}.$$

Мы получаем полный интеграл, положив
$$S=a_1+S_1(r,a_2,a_4)+S_2(\vartheta ,a_2,a_3)+a_3\phi +a_{4}t;$$

функции $S_1$ и $S_2$ находятся квадратурами; они должны удовлетворять уравнениям
$$\begin{array}{rl}-\frac{1}{c^2}{(a_4-V)}^2+{\left(\frac{\partial S_1}{\partial r}\right)}^2+m^2{c}^2& =\frac{a_2}{r^2},\\ {\left(\frac{\partial S_2}{\partial \vartheta }\right)}^2+\frac{a_3^2}{{\sin }^2\vartheta }& =-a_2.\end{array}\}$$

Здесь $a_i$ — произвольные постоянные. Как и в случае (112.2), движение определяется уравнениями
$$b_2=\frac{\partial S_1}{\partial a_2}+\frac{\partial S_2}{\partial a_2},b_3=\phi +\frac{\partial S_2}{\partial a_3},b_4=t+\frac{\partial S_1}{\partial a_4},$$

где $b_i$ — произвольные постоянные. Эти три уравнения дают $r,\vartheta ,\phi$ как функции $t$ и шести произвольных постоянных $a_2,a_3,a_4,b_2,b_3,b_4$.