Рассмотрим частицу с постоянной собственной массой $m$ и зарядом $e$, движущуюся в поле заряда $e^{\prime}$ противоположного знака, помещенного в начале координат. Если $e$, $e^{\prime}$ измерены в гауссовых электростатических единицах, то поле п 4-потенциал определяются уравнениями
\[
\left.\begin{array}{c}
E_{\rho}=i F_{\rho 4}=\frac{e^{\prime} x_{\rho}}{r^{3}}, \quad F_{\rho \sigma}^{\prime}=0, \\
\varphi_{\rho}=0, \quad \varphi_{4}=\frac{i e^{\prime}}{r} .
\end{array}\right\}
\]
Уравнения движения приводят к следующим соотношениям:
\[
\frac{d}{d t}(\gamma v)=-\frac{k r}{r^{3}}, \quad \frac{d}{d t}\left(\gamma c^{2}\right)=-\frac{k}{r^{3}} v \cdot r,
\]
где $\boldsymbol{r}$ – радиус-вектор движущегося заряда и
\[
k=-\frac{e e^{\prime}}{m}>0 \text {. }
\]
Отсюда следует, что движение плоское и если ввести полярные координаты $(r, \vartheta)$ в плоскости орбиты, то получим
интеграл момента количества движения
\[
\gamma r^{2} \dot{v}=A,
\]
и интеграл энергии
\[
\gamma c^{2}-\frac{k}{r}=W,
\]
где $A$ и $W$ – постоянные. Полагая $\varrho=1 / r$ и исключая время, получим уравнение орбиты в следующей форме ${ }^{1}$ ):
\[
\frac{d^{2} \varrho}{d \vartheta^{2}}+\left(1-\frac{k^{2}}{A^{2} c^{2}}\right) \varrho=\frac{W k}{A^{2} c^{2}} .
\]
Предиолагая, что коэффициент е положителен и полагая
\[
p=\sqrt{1-\frac{k^{2}}{A^{2} c^{2}}},
\]
получим уравнение орбиты в форме
\[
\frac{1}{r}=\varrho=\frac{c}{A p^{2}}\left[\left(\frac{W^{2}}{c^{4}}-p^{2}\right)^{1 / 2} \cos (p \vartheta+C)+\frac{k W}{A c^{3}}\right],
\]
где $C$ – постоянная.
Условие конечности орбиты есть
\[
-c^{2}<W<c^{2} \text {. }
\]
Конечную орбиту можно рассматривать как вращающийся эллипс, один фокус которого находится в начале координат, а перемещение перигелия за один оборот равно
\[
2 \pi\left(\frac{1}{p}-1\right) \text {. }
\]
Если скорость мала, то эта величина равна приближенно
\[
\frac{\pi k^{2}}{A^{2} c^{2}}=\frac{4 \pi^{3} a^{2}}{c^{2} \tau^{2}\left(1-\varepsilon^{2}\right)},
\]
где $a$ – большая полуось эллипса, $\tau$ – период, $\varepsilon$ – эксцентриситет. Это выражение дает одну шестую часть вращения, определяемого общей теорией относительности для движения планеты в гравитационном поле Солнца.
Решение релятивистской проблемы Кеплера может быть получено также методом разделения переменных в уравнении Гамильтона – Якоби ${ }^{1}$ ). При переходе к полярным координатам $(r, \vartheta, \varphi)$ уравнение (115.5) преобразуется к следующему:
\[
\begin{aligned}
-\frac{1}{c^{2}}\left(\frac{\partial S}{\partial t}-V\right)^{2} & +\left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\partial S}{\partial \vartheta}\right)^{2}+ \\
& +\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \vartheta}\left(\frac{\partial S}{\partial \varphi}\right)^{2}+m^{2} c^{2}=0
\end{aligned}
\]
где
\[
V=\frac{e e^{\prime}}{r} .
\]
Мы получаем полный интеграл, положив
\[
S=a_{1}+S_{1}\left(r, a_{2}, a_{4}\right)+S_{2}\left(\vartheta, a_{2}, a_{3}\right)+a_{3} \varphi+a_{4} t ;
\]
функции $S_{1}$ и $S_{2}$ находятся квадратурами; они должны удовлетворять уравнениям
\[
\left.\begin{array}{rl}
-\frac{1}{c^{2}}\left(a_{4}-V\right)^{2}+\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial r}\right)^{2}+m^{2} c^{2} & =\frac{a_{2}}{r^{2}}, \\
\left(\frac{\partial S_{2}}{\partial \vartheta}\right)^{2}+\frac{a_{3}^{2}}{\sin ^{2} \vartheta} & =-a_{2} .
\end{array}\right\}
\]
Здесь $a_{i}$ – произвольные постоянные. Как и в случае (112.2), движение определяется уравнениями
\[
b_{2}=\frac{\partial S_{1}}{\partial a_{2}}+\frac{\partial S_{2}}{\partial a_{2}}, \quad b_{3}=\varphi+\frac{\partial S_{2}}{\partial a_{3}}, \quad b_{4}=t+\frac{\partial S_{1}}{\partial a_{4}},
\]
где $b_{i}$ – произвольные постоянные. Эти три уравнения дают $r, \vartheta, \varphi$ как функции $t$ и шести произвольных постоянных $a_{2}, a_{3}, a_{4}, b_{2}, b_{3}, b_{4}$.
