При. изложении динамической теории мы будем пользоваться следующими пространствами представлений ${ }^{1}$ ):

Здесь и во всем разделе Д (если не оговаривается противное) маленькие греческие индексы пробегают значения $1, \ldots, N$, а маленькие латинские индексы — значения $1, \ldots, N+1$, причем условие суммирования по повторяющимся индексам выполняется в каждом случае.

Пространства представлений в приведенной таблице перечислены в порядке возрастания размерностей. Мы будем рассматривать их в другом, несколько более удобном порядке.

Наша цель состоит в том, чтобы представить динамическую теорию совершенно абстрактным образом так, чтобы полученные результаты могли быть приложимы вне

традиционной ньютоновой динамики. Но для того чтобы сохранить связь с источником этой теории, рассмотрим кратко эти пространства представлений в ньютоновой системе (голономной, склерономной или реономной) с $N$ степенями свободы и обобщенными координатами $q_{\rho}$. Система имеет лагранжиан $L(q, t, \dot{q})$ и движется в соответствии с лагранжевыми уравнениями движения (§ 46 ); соответственно она имеет гамильтониан $H(q, t, p)$ и движется согласно уравнениям Гамильтона (§ 47). Мы будем называть систему консервативной, если $t$ не входит явно в $H$ (или, что эквивалентно, не входит в $L$ ), так что имеем
\[
\frac{\partial H}{\partial t}=0 ;
\]

это выражение, так же как и (47.9), заключает в себе соотношение
\[
H=E,
\]

являющееся константой движения. Все движения, для которых $E$ имеет одно общее для всех движений значение, составляют изоэнергетическую динамику ${ }^{1}$ ).

Простейшим из всех пространств представлений является $Q$. Если система состоит из одной частицы, движущейся в обычном пространстве, то $Q$ — обычное пространство; а если частица под действием связей вынуждена двигаться по поверхности или по кривой, то пространство $Q$ есть эта поверхность или кривая. Однако картина траекторий в целом несколько усложнена, потому что траектория не определяется точкой пространства $Q$ и направлением в $Q$ (т. е. отношениями $d q_{1}: d q_{2}: \ldots: d q_{N}$ ). Для консервативной системы заданному направлению в точке соответствует $\infty^{1}$ множество траекторий (например, частица в гравитационном поле). Для неконсервативных систем имеется $\infty^{2}$ множество траекторий.

Множество всех траекторий в целом легче представить себе в пространстве $Q T$; в нем траектория определяется

точкой и направлением в ней (т. ө. отношениями $d q_{1}: d q_{2}: \ldots: d q_{N}: d t$, которые являются обобщенными скоростями). Это относится и к консервативным и к неконсервативным системам. Более того, рассмотрение времени $t$ наравне с координатами $q_{\rho}$ делает пространство $Q T$ подходящим основанием для релятивистской динамики.

Пространство $\mathrm{PH}$ имеет более второстепенное значение. Им полезно пользоваться, когда рассматриваются столкновения, в которых некоторое количество частищ, находившихся первоначально в свободном движении, попадает под влияние друг друга, а затем удаляются друг от друга, причем конечное их движение опять оказывается свободным. Когда частицы движутся свободно (до и после столкновения), то изображающая точка остается неподвижной в $P H$. В результате столкновения изображающая точка переходит из одного такого положения в другое.

Благодаря в основном работам по статистической механике Гиббса пространство $Q P$ есть, вероятно, наиболее известное из всех перечисленных выше. В случае консервативной системы множество траекторий образуют конгруэнцию кривых и через каждую точку пространстьа $Q P$ проходит только одна кривая. Эта картина является достаточно простой, но она усложняется для неконсервативной системы. В последнем случае через каждую точку пространства $Q P$ проходит $\infty^{1}$ траекторий. Более того, пространство $Q P$ становится неудобным в теории относительности, в которой $t$ должно рассматриваться как переменная, равноправная с координатами $q_{\rho}$.

В пространстве $Q T P$ время $t$ рассматривается как переменная, равноправная с координатами $q_{\rho}$ и импульсами $p_{\rho}$. Гамильтониан $H(q, t, p)$ является функцией положөния в этом пространстве. Картина траекторий для неконсервативной системы в этом пространстве проще, чем в пространстве $Q P$, потому что теперь мы имеем конгруэнцию кривых, а через каждую точку проходит одна кривая. Пространство $Q T P$ отличается от пространств $Q P$ и $Q T P H$ тем, что оно имеет нечетную размерность; с математической точки зрения это различие является существенным.

Использование пространства $Q T P H$ создает наибольшие возможности для общего рассмотрения динамики. В этом пространстве $t$ и $H$ рассматриваются как переменные, равноправные с $q_{\rho}$ и $p_{\rho}$, так что здесь имеет место полная формальная симметрия. В таком случае $2 N+2$ координат распадаются на две группы $(q, t)$ и $(p, H)$. Эти две группы почти взаимозаменяемы в динамической теории. Для того чтобы сохранить симметрию, лучше всего построить динамическую теорию, воспользовавшись не функцией $H(q, t, p)$, а уравнением энергии, заключающим в себе, вообще говоря, все $2 N+2$ координат пространства $Q T P H$. Это уравнение определяет $2 N+1$-мерную поверхность в пространстве $Q T P H$ и изображающая точка должна находиться на этой поверхности. Однако иногда удобно употреблять функцию энергии вместо уравнения энергии для того, чтобы иметь дело с пространством, а не только с этой поверхностью.

Надо заметить, что оптический метод Гамильтона ${ }^{1}$ ), в котором все координаты пространства рассматриваются как равноправные, наводит на мысль использовать пространство QTPH. Симметричное построение динамики было предуказано гамильтоновым исчислением главных отношений ${ }^{2}$ ). В наше время этот подход к динамике возрожден в ряде работ ${ }^{3}$ ). Вся теория, развитая в пространстве $Q T P H$, может быть немедленно перенесена на рассмотрение изоэнергетической динамики в $Q P$ простым уменьшением размерности.