В $(2 N+1)$-мерном пространстве состояний $Q T P$ координатами ${ }^{1}$ ) изображающей точки являются $q_{\rho}, t, p_{\rho}$. Гамильтонова функция $H$ здесь не координата, а функция положения в пространстве $Q T P$ :
\[
H=H(q, t, p) .
\]

Канонические уравнения движения здесь следующие:
\[
\dot{q}_{\rho}=\frac{\partial H}{\partial p_{\rho}}, \quad \dot{p}_{\rho}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\rho}} .
\]

Напишем их в форме
\[
\frac{d q_{1}}{\frac{\partial H}{\partial p_{1}}}=\ldots=\frac{d q_{N}}{\frac{\partial H}{\partial p_{N}}}=\frac{d p_{1}}{-\frac{\partial H}{\partial q_{1}}}=\ldots=\frac{d p_{N}}{-\frac{\partial H}{\partial q_{N}}}=\frac{d t}{1},
\]

чтобы сделать все координаты равноправными; тогда эти уравнения представляют естественную конгруэнцию траекторий в $Q T P$, причем через каждую точку пространства проходит одна кривая. Отметим, что уравнения (93.2) заключают в себе уравнение
\[
\frac{d H}{d t}=\frac{\partial H}{\partial t}
\]

Для того чтобы обсудить циркуляцию в QTP незавпсимо от теории, изложенной в § 90 для $Q T P H$, определяем циркуляцию по любому контуру $C$ следующим образом:
\[
x(C)=\oint_{C}\left(p_{\rho} \delta q_{\rho}-H \delta t\right) .
\]

Придавая контуру $C$ произвольное бесконечно малое смещение $d$ (не обязательно вдоль естественной конгруэнции) и интегрируя варьированное выражение по частям, получаем
\[
\begin{aligned}
d x(C)=\oint_{c}\left(d p_{\rho} \delta q_{\rho}-d q_{\rho} d p_{\rho}-d H \delta t+d t \delta H\right)= \\
=\oint_{C}\left[\delta q_{\rho}\left(d p_{\rho}+\frac{\partial H}{\partial q_{\rho}} d t\right)+\delta p_{\rho}\left(-d q_{\rho}+\frac{\partial H}{\partial p_{\rho}} d t\right)+\right. \\
\left.+\delta t\left(-d H+\frac{\partial H}{\partial t} d t\right)\right] \cdot(93.6
\end{aligned}
\]

Если теперь перемещение $d$ происходит вдоль естественной конгруэнции, то из (93.3) и (93.4) следует, что
\[
d x(C)=0 .
\]

С другой стороны, если $d x(C)=0$ для произвольного $C$ и для перемещения $d$, взятого вдоль некоторой конгруэнции, то эта конгруэнция должна удовлетворять уравнениям (93.3) и (93.4) и, следовательно, это – естественная конгруэнция. В самом деле, условие циркуляции (93.7) эквивалентно каноническим уравнениям (93.2).