Пусть $x_{r}$ какое-нибудь событие в истории частицы и пусть $M_{r}$ 4-импульс частицы в этом событии. Тогда момент импульса частицы в этом событии относительно начала пространственно временных координат определен кососимметричным тензором
\[
H_{r s}=x_{r} M_{s}-x_{s} M_{r} .
\]

Более общо, момент импульса относительно некоторого события определяется следующим образом:
\[
\begin{aligned}
H_{r s}(a) & =\left(x_{r}-a_{r}\right) M_{s}-\left(x_{s}-a_{s}\right) M_{r}= \\
& =H_{r s}-a_{r} M_{s}-a_{s} M_{r} .
\end{aligned}
\]

Если частица свободна, то ее мировая линия есть прямая и $M_{r}$ направлен вдоль нее. В этом случае $H_{r s}(a)$ не зависит от частного события $x_{r}$, выбранного на мировой линии.

Рассмотрим теперь систему частиц, взаимодействующих друг с другом только при катастрофе, в которой мировые линии пересекаются. Столкновение может быть упру-

гим или неупругим; частицы могут при этом соединяться и могут образоваться новые частицы; частицы могут быть вещественными частицами или фотонами. Существенное условие состоит в том, что 4-импульс должен сохраняться при каждой катастрофе и что каждая катастрофа происходит в один акт, т. е. катастрофа должна иметь место в одной-единственной точке пространства событий. Рис. 57 показывает мировые линии такой системы.

Пусть П – какое-нибудь пространственноподобное 3-пространство. Пусть $x_{r}$ – событие, в котором обычная мировая линия пересекает П и пусть $M_{r}$ – соответствующий 4-импульс. Тогда каждая мировая линия, пересекающая П, определяет момент импульса вида (123.1) относительно начала пространственновременных координат, а полный момент импульса
Рис. 57. Мировые линии системы частиц, взаимодействующих в точке катастрофы.

для системы получаем сложением моментов импульсов отдельных частиц.

Если передвигать П в пространстве – времени, то этот полный момент импульса остается, конечно, постоянным до тех пор, пока точка катастрофы не окажется в пространстве П, потому что между катастрофами каждая частица является свободной. Кроме того, полный момент импульса не изменяется и тогда, когда точка катастрофы окажется в П, потому что она представляется только одним событием, и полный 4-импульс всех частиц сохраняется. На самом деле, как полный 4-импульс, так и полный момент импульса на мировой линии, пересекающей П, не зависят от выбора П; они являются постоянными системы.

Говоря о системе, будем употреблять те же обозначения, которые мы использовали для одной частицы, а именно: $H_{r s}$ – полный момент импульса относительно

начала, $H_{r s}(a)$ – полный момент импульса относительно события $a_{r}, M_{r}$ – полный 4-импульс. Справедливо уравнение вида (123.2), в котором индексы имеют только что указанный смысл,
\[
H_{r s}(a)=H_{r s}-a_{r} M_{s}+a_{s} M_{r} .
\]

Рассмотрим четыре уравнения
\[
H_{r s}(a) M_{s}=0,
\]

из которых только три независимых вследствие кососимметричности $H_{r s}(a)$. Подставив значение $H_{r s}(a)$ из (123.3), получим
\[
H_{r s} M_{s}-a_{r} M_{s} M_{\mathrm{s}}+M_{r} a_{s} M_{s}=0 .
\]

Эти уравнения локализуют $a_{t}$ на прямой линии в пространстве – времени с уравнениями
\[
a_{r}=\frac{H_{r s} M_{s}}{M_{n} M_{n}}+\vartheta M_{r},
\]

где $\vartheta$ – переменный параметр. Это, так сказать, история центра масс системы, причем центр масс определяется релятивистски. Эта история параллельна $M_{r}$.

Если применить систему отсчета с осью времени, параллельной $M_{r}$ (т. е. это система отсчета центра масс § 120), то имеем условие
\[
M_{\rho}=0 ;
\]

выражение (123.6) означает, что центр масс закреплен в точке с координатами
\[
a_{\rho}=\frac{H_{\rho 4}}{M_{4}} .
\]

Если, с другой стороны, оставить все направления пространственновременни́х осей произвольными, но передвинуть начало координат в некоторое положение на мировой линии центра масс, то уравнение (123.5) удовлетворяется при $a_{r}=0$ и поэтому имеет место
\[
H_{r s} M_{s}=0 \text {. }
\]