Пусть $x_r$ какое-нибудь событие в истории частицы и пусть $M_r$ 4-импульс частицы в этом событии. Тогда момент импульса частицы в этом событии относительно начала пространственно временных координат определен кососимметричным тензором
$$H_{rs}=x_r{M}_s-x_s{M}_r.$$

Более общо, момент импульса относительно некоторого события определяется следующим образом:
$$\begin{array}{rl}{H}_{rs}(a)& =(x_r-a_r)M_s-(x_s-a_s)M_r=\\ & =H_{rs}-a_r{M}_s-a_s{M}_r.\end{array}$$

Если частица свободна, то ее мировая линия есть прямая и $M_r$ направлен вдоль нее. В этом случае $H_{rs}(a)$ не зависит от частного события $x_r$, выбранного на мировой линии.

Рассмотрим теперь систему частиц, взаимодействующих друг с другом только при катастрофе, в которой мировые линии пересекаются. Столкновение может быть упру-

гим или неупругим; частицы могут при этом соединяться и могут образоваться новые частицы; частицы могут быть вещественными частицами или фотонами. Существенное условие состоит в том, что 4-импульс должен сохраняться при каждой катастрофе и что каждая катастрофа происходит в один акт, т. е. катастрофа должна иметь место в одной-единственной точке пространства событий. Рис. 57 показывает мировые линии такой системы.

Пусть П — какое-нибудь пространственноподобное 3-пространство. Пусть $x_r$ — событие, в котором обычная мировая линия пересекает П и пусть $M_r$ — соответствующий 4-импульс. Тогда каждая мировая линия, пересекающая П, определяет момент импульса вида (123.1) относительно начала пространственновременных координат, а полный момент импульса
Рис. 57. Мировые линии системы частиц, взаимодействующих в точке катастрофы.

для системы получаем сложением моментов импульсов отдельных частиц.

Если передвигать П в пространстве — времени, то этот полный момент импульса остается, конечно, постоянным до тех пор, пока точка катастрофы не окажется в пространстве П, потому что между катастрофами каждая частица является свободной. Кроме того, полный момент импульса не изменяется и тогда, когда точка катастрофы окажется в П, потому что она представляется только одним событием, и полный 4-импульс всех частиц сохраняется. На самом деле, как полный 4-импульс, так и полный момент импульса на мировой линии, пересекающей П, не зависят от выбора П; они являются постоянными системы.

Говоря о системе, будем употреблять те же обозначения, которые мы использовали для одной частицы, а именно: $H_{rs}$ — полный момент импульса относительно

начала, $H_{rs}(a)$ — полный момент импульса относительно события $a_r,M_r$ — полный 4-импульс. Справедливо уравнение вида (123.2), в котором индексы имеют только что указанный смысл,
$$H_{rs}(a)=H_{rs}-a_r{M}_s+a_s{M}_r.$$

Рассмотрим четыре уравнения
$$H_{rs}(a)M_s=0,$$

из которых только три независимых вследствие кососимметричности $H_{rs}(a)$. Подставив значение $H_{rs}(a)$ из (123.3), получим
$$H_{rs}{M}_s-a_r{M}_s{M}_{\mathrm{s}}+M_r{a}_s{M}_s=0.$$

Эти уравнения локализуют $a_t$ на прямой линии в пространстве — времени с уравнениями
$$a_r=\frac{H_{rs}{M}_s}{M_n{M}_n}+\vartheta M_r,$$

где $\vartheta$ — переменный параметр. Это, так сказать, история центра масс системы, причем центр масс определяется релятивистски. Эта история параллельна $M_r$.

Если применить систему отсчета с осью времени, параллельной $M_r$ (т. е. это система отсчета центра масс § 120), то имеем условие
$$M_{\rho }=0;$$

выражение (123.6) означает, что центр масс закреплен в точке с координатами
$$a_{\rho }=\frac{H_{\rho 4}}{M_4}.$$

Если, с другой стороны, оставить все направления пространственновременни́х осей произвольными, но передвинуть начало координат в некоторое положение на мировой линии центра масс, то уравнение (123.5) удовлетворяется при $a_r=0$ и поэтому имеет место
$$H_{rs}{M}_s=0\text{. }$$