Для круговой орбиты радиуса $r=1 / u$ мы требуем выполнения условий
\[
f(u)=0, \quad f^{\prime}(u)=0 .
\]

Первое условие есть следствие уравнения (37.5), второе же следует из (37.2), которое эквивалентно уравнению
\[
\frac{d^{2} u}{d \vartheta^{2}}=\frac{1}{2} f^{\prime}(u) .
\]

Полагая $u=u_{0}$ для круговой орбиты, мы пишем для возмущенной орбиты
\[
u=u_{0}+\xi
\]
(предполагая, что $\xi$ – мало) и, отбрасывая члены выше первого порядка в $\xi$, получаем из уравнений (38.2) и (38.1) следующее уравнение:
\[
\frac{d^{2} \xi}{d \vartheta^{2}}=\frac{1}{2} \xi f^{\prime \prime}\left(u_{0}\right) .
\]

Уравнение имеет синусоидальное решение, обеспечивающее устойчивость тогда (и только тогда), когда выполняется условие
\[
f^{\prime \prime}\left(u_{0}\right)<0 .
\]

Таким образом, имеет место следующий критерий устойчивости круговой орбиты радиуса $r=\frac{1}{u}$, описанной

частицей под действием центральной силы притяжения:
\[
\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(u)=-1-\frac{1}{h^{2}} \frac{d}{d u}\left(\frac{F}{u^{2}}\right)<0 .
\]

Здесь сила $F$ – отрицательна, а сила притяжения по величине равна $m F$. Согласно уравнению (37.2) имеем далее в случае круговой орбиты
\[
h^{2}=-\frac{F}{u^{3}} .
\]

Следовательно, критерий устойчивости можно записать в виде
\[
3 F<u \frac{d F}{d u},
\]

или
\[
3 F+r \frac{d F}{d r}<0
\]

Если сила притяжения пропорциональна $r^{-n}$, то движение устойчиво тогда и только тогда, когда $n<3$.