Развитие теории соударений было вызвано (в значительной степени) играми с шарами, в частности биллиардом; в то же время эта теория доставляет модели для молекулярных столкновений, когда принимаются в расчет моменты импульса ${ }^{2}$ ).

Рассмотрим два твердых тела, $S_{1}$ и $S_{2}$, движущихся произвольным образом. В некоторый момент времени они коснутся друг друга и продолжение их движения должно было бы вызвать вдавливание их друг в друга; этого не происходит благодаря действию пары ударных импульсов, равных по величине и противоположных по направлению, приложенных в точке контакта $C$ (рис. 28)

Пусть $O_{1}, O_{2}$ – центры масс в момент столкновения и $\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{r}_{2}$ – радиусы-векторы точки $C$ соответственно относительно точек $O_{1}, O_{2}$. Пусть $m_{1}, m_{2}$ – массы тел, а $v_{1}, v_{2}$ – скорости центров масс перед соударением, $h_{1}, \boldsymbol{h}_{2}$ моменты импульса для центров масс также перед столкновением. Те же величины после соударения отмечены штрихами. Пусть $-\hat{\boldsymbol{F}}$ и $\hat{\boldsymbol{F}}-$ обозначения ударных импульсов, действующих соответственно на тела $S_{1}$ и $S_{2}$.

Тогда уравнения (58.5) п (58.6) можно переписать в виде
\[
\left.\begin{array}{rl}
m_{1}\left(\boldsymbol{v}_{1}^{\prime}-\boldsymbol{v}_{1}\right) & =-\hat{\boldsymbol{F}}, \quad m_{2}\left(\boldsymbol{v}_{2}^{\prime}-\boldsymbol{v}_{2}\right)=\hat{\boldsymbol{F}}, \\
\boldsymbol{h}_{\mathbf{1}}^{\prime}-\boldsymbol{h}_{1} & =-\boldsymbol{r}_{\mathbf{1}} \times \hat{\boldsymbol{F}}, \quad \boldsymbol{h}_{2}^{\prime}-\boldsymbol{h}_{2}=\boldsymbol{r}_{2} \times \hat{\boldsymbol{F}} .
\end{array}\right\}
\]

Здесь $v_{1}, v_{2}, h_{1}, h_{2}, r_{1}, r_{2}$ – известны и, таким образом, имеем 12 скалярных уравнений для 15 неизвестных, а именно, для компонент пяти векторов,
\[
v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}, h_{1}^{\prime}, h_{2}^{\prime}, \hat{F} .
\]

Так как известны положения тел и моменты инерции, то $h_{1}^{\prime}$ определяет угловую скорость $\omega_{1}^{\prime}$, и обратно; то же верно относительно $h_{2}^{\prime}$ и $\omega_{2}^{\prime}$. Таким образом, без дополнительных предположений проблема определения движения, поРис. 28. Столкновение твердых. тел.

лучающегося в результате соударения, имеет $15-12=3$ степени произвола.

Мы предполагаем теперь, что тела әладкие ${ }^{1}$ ); это означает, что ударные импульсы действуют под прямым углом

к общей касательной плоскости, так что имеем равенство
\[
\hat{\boldsymbol{F}}=\hat{\boldsymbol{F}} \boldsymbol{n}, \quad \hat{\boldsymbol{F}}>0,
\]

где $\boldsymbol{n}$ – единичный вектор нормали, направленный от $S_{1}$ к $S_{2}$. Это предположение сводит число неизвестных к 13 , а именно,
\[
v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}, h_{1}^{\prime}, h_{2}^{\prime}, \hat{F} .
\]

Оставшуюся неопределенность можно устранить, если предположить, что имеет место закон сохранения энергии
\[
T^{\prime}=T .
\]

Здесь $T$ известно, а $T^{\prime}$ можно выразить через $\boldsymbol{v}_{1}^{\prime}, \boldsymbol{v}_{2}^{\prime}, \boldsymbol{h}_{1}^{\prime}, \boldsymbol{h}_{2}^{\prime}$.
Но можно воспользоваться и более общим способом, который содержит изложенный как частный случай. Пусть $u_{1}, u_{2}$ – скорости двух частиц, соприкасающися в точке $C$, так что
\[
\left.\begin{array}{l}
u_{1}=v_{1}+\omega_{1} \times r_{1}, \\
u_{2}=v_{2}+\omega_{2} \times r_{2},
\end{array}\right\}
\]

где $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ – угловые скорости тел. Можно считать, что формулы такого вида имеют место не только в начале соударения, но и в течение всего короткого времени, пока соударение длится. Введем скорость сжатия $c$, определенную следующим образом:
\[
c=\boldsymbol{n} \cdot\left(\boldsymbol{u}_{1}-\boldsymbol{u}_{2}\right) .
\]

В начальный момент она положительна, так как тела стремятся вдавиться друг в друга. Все соударение разбивается на два периода: (I) период сжатия, когда $c>0$, и (II) период восстановления, когда $c<0$. В период сжатия действуют ударные импульсы, как раз достаточные для того, чтобы свести $c$ к нулю. Обозначая их через ( – In, In), а скорости соответствующих частиц в момент окончания периода сжатия – через $v_{1}^{\prime \prime}, v_{2}^{\prime \prime}, \ldots$, получим
\[
\left.\begin{array}{cl}
m_{1}\left(v_{1}^{\prime \prime}-v_{1}\right)=-I n, \quad m_{2}\left(v_{2}^{\prime \prime}-v_{2}\right)=I n, \\
\boldsymbol{h}_{1}^{\prime \prime}-\boldsymbol{h}_{1}=-r_{1} \times I n, \quad \quad \boldsymbol{h}_{2}^{\prime \prime}-\boldsymbol{h}_{2}=\boldsymbol{r}_{2} \times I n, \\
c^{\prime \prime}=\boldsymbol{n} \cdot\left(u_{1}^{\prime \prime}-u_{2}^{\prime \prime}\right)=0 .
\end{array}\right\}
\]

Из. 13 скалярных уравнений, заключенных в (59.8), можно определить $I$ и движение в конце периода сжатия.

Что касается периода восстановления, то предполагается, что ударные импульсы для этого периода пропорциональны ударным импульсам в течение сжатия; коэффициент пропорциональности, обозначенный через $e$, называется коэффициентом восстановления. Его величина изменяется от $e=0$ (неупруаий удар) до $e=1$ (абсолютно упругий удар); удары с промежуточными значениями $e$ называются полуупругими.

Конечный результат столкновения получим, если подставим значения $\hat{\boldsymbol{F}}$,
\[
\hat{\boldsymbol{F}}=(1+e) I \boldsymbol{n},
\]

в уравнения (59.1); при этом величина $I$ находится из $(59.8)$.

Можно показать, что условие $e=1$ заключает в себе $T^{\prime}=T(59.5)$.

Для того чтобы дать пример коэффициента восстановления, рассмотрим удар двух гладких однородных шаров. В этом случае ударные импульсы не имеют моментов относительно центров масс, и уравнения (59.8) сводятся к следующим:
\[
\left.\begin{array}{c}
m_{1}\left(v_{1}^{\prime \prime}-\boldsymbol{v}_{1}^{\prime}\right)=-I \boldsymbol{n}, \quad m_{2}\left(v_{2}^{\prime \prime}-v_{2}\right)=I \boldsymbol{n}, \\
n \cdot\left(v_{1}^{\prime \prime}-\boldsymbol{v}_{2}^{\prime \prime}\right)=0 .
\end{array}\right\}
\]

Отсюда получаем
\[
I=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \boldsymbol{n} \cdot\left(\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{2}\right)=\frac{m_{1} m_{2} c}{m_{1}+m_{2}},
\]

где $c$ – начальная скорость сжатия. Согласно уравнениям (59.1) и (59.9) имеем
\[
m_{1}\left(\boldsymbol{v}_{1}^{\prime}-\boldsymbol{v}_{1}\right)=-(1+e) I n, \quad m_{2}\left(\boldsymbol{v}_{2}^{\prime}-v_{2}\right)=(1+e) I n
\]

и поэтому скорости после соударения равны:
\[
\left.\begin{array}{c}
\boldsymbol{v}_{1}^{\prime}=v_{1}-\frac{m_{2} c}{m_{1}+m_{2}}(1+e) n, \\
\boldsymbol{v}_{2}^{\prime}=\boldsymbol{v}_{2}+\frac{m_{1} c}{m_{1}+m_{2}}(1+e) n .
\end{array}\right\}
\]

Потеря кинетической энергии выражается следующим образом:
\[
T-T^{\prime}=\frac{m_{1} m_{2} c^{2}}{2\left(m_{1}+m_{2}\right)}\left(1-e^{2}\right) .
\]