Волчок представляет собой твердое тело вращения, которое приведено во вращение вокруг своей оси симметрии и касается горизонтальной плоскости. Существенная особенность этой системы состоит в том, что волчок представляет собой твердое тело, движущееся под действием двух сил, а именно, силы тяжести, приложенной в центре масс, и силы реакции в точке касания. Поверхности в точке контакта можно

считать гладкими; в этом случае система голономна. Они могут быть достаточно шероховатыми, чтобы предотвратить скольжение; тогда система неголономна. Они также могут быть не абсолютно шероховатыми; в этом случае тело скользит или катится, в зависимости от обстоятельств ${ }^{1}$ ).
а) Несимметричный волчок. При обычной математической идеализации волчок считается твердым телом, с неподвижной точкой $O$ (вершина волчка); он движется под действием двух сил, а именно, силы тяжести, приложенной в центре масс $D$, и силы реакции связи в точке $O$, такой, что точка $O$ остается неподвижной. Динамические свойства определяются заданием семи чисел: массы $m$, главных моментов $A, B, C$ для точки $O$ и координат $\xi, \eta, \zeta$ точки $D$ относительно главных осей с началом в точке $O$. Теория такого волчка приложима также $к$ движению свободного твердого тела относительно его центра масс под действием сил, эквивалентных одной силе с постоянной абсолютной величиной и направлением, приложенной к точке неподвижной в теле. При такой интерпретации теория имеет значение в баллистике, где эта сила обусловлена сопротивлением воздуха.
Волчок называется симметричным, если
\[
A=B, \quad \xi=\eta=0,
\]

так что $O D-$ ось динамической симметрии. Если условие (56.1) не выполняется, хотя бы по одному из равенств, то волчок называется несимметричным.

Для того чтобы исследовать движение несимметричного волчка, можно применить уравнения Лагранжа,

выразив при этом кинетическую энергию через эйлеровы углы $(\vartheta, \varphi, \psi)$, аналогично тому, как это сделано в (49.4). Однако физический смысл проблемы выявляется более отчетливо, если воснользоваться уравнениями Эйлера (49.14), которые можно записать в виде
\[
\left.\begin{array}{l}
A \dot{\omega}_{1}-(B-C) \omega_{2} \omega_{3}=-m g\left(\eta K_{3}-\zeta K_{2}\right), \\
B \dot{\omega}_{2}-(C-A) \omega_{3} \omega_{1}=-m g\left(\zeta K_{1}-\xi K_{3}\right), \\
C \dot{\omega}_{3}-(A-B) \omega_{1} \omega_{2}=-m g\left(\xi K_{2}-\eta K_{1}\right),
\end{array}\right\}
\]

где
\[
K=K_{1} \boldsymbol{i}-K_{2} \boldsymbol{j}+K_{3} \boldsymbol{k}
\]
– единичный вектор, направленный вертикально вверх (рис. 21). Так как направление $\boldsymbol{K}$ фиксировано, то имеем уравнение
\[
0=\dot{\boldsymbol{K}}=\frac{\delta \boldsymbol{K}}{\delta t}+\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{K}
\]

или, в координатной форме,
\[
\left.\begin{array}{c}
\dot{K}_{1}+\omega_{2} K_{3}-\omega_{3} K_{2}=0, \\
\dot{K}_{2}+\omega_{3} K_{1}-\omega_{1} K_{3}=0, \\
\dot{K}_{3}+\omega_{1} K_{2}-\omega_{2} K_{1}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Шесть дифференциальных уравнений (56.2) и (56.5) – первого порядка относительно $\omega_{1}$, $\omega_{2}, \omega_{3}, K_{1}, K_{2}, K_{3}$, причем эти величины могут быть выражены через три угла Эйлера и их первые производные.

Эти уравнения допускают интегралы, которые являются следствиями постоянства полной энергии, обращения в нуль момента силы тяжести относительно вертикали, проходящей через точку $O$, а также того факта, что $K$ –

единичный вектор:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{1}{2}\left(A \omega_{1}^{2}+B \omega_{2}^{2}+C \omega_{3}^{2}\right)+_{i}^{1} \\
+m g\left(\xi K_{1}+\eta K_{2}+\zeta K_{3}\right) & =\mathrm{const} \\
A \omega_{1} K_{1}+B \omega_{2} K_{2}+C \omega_{3} K_{3} & =\mathrm{const} \\
K_{1}^{2}+K_{2}^{2}+K_{3}^{2} & =1
\end{array}\right\}
\]

В некоторых специальных случаях существуют еще другие интегралы. Наиболее замечательный из них интеграл Ковалевской, который имеет место в случае
\[
A=B=2 C, \quad \zeta=0 .
\]

Переходом к новым главным осям $(i, j, k$ ) мы приводим $\eta$ к нулю. Тогда уравнения (56.2) и (56.5) дают выражения
\[
\left.\begin{array}{c}
\dot{2}+i \omega \omega_{3}=i \beta K_{3}, \\
\dot{K}+i K \omega_{3}=i \omega K_{3},
\end{array}\right\}
\]

где $\omega=\omega_{1}+i \omega_{2}, K=K_{1}+i K_{2}, \quad \beta=m g \xi / C$. Исплючая $K_{3}$, получаем уравнение
\[
\frac{d}{d t}\left(\omega^{2}-\beta K\right)+i \omega_{3}\left(\omega^{2}-\beta K\right)=0,
\]

а отсюда
\[
\frac{d}{d t} \ln \left(\omega^{2}-\beta K\right)=-i \omega_{3} .
\]

Складывая (56.10) с комплексной сопряженной величиной, получим искомый интеграл
\[
\left(\omega^{2}-\beta K\right)\left(\bar{\omega}^{2}-\beta \bar{K}\right)=\mathrm{const}
\]

или
\[
\left(\omega_{1}^{2}-\omega_{2}^{2}-\beta K_{1}\right)^{2}+\left(2 \omega_{1} \omega_{2}-\beta K_{2}\right)^{2}=\text { const. }
\]

Этот интеграл вместе с первыми двумя интегралами (56.6) дает нам три уравнения для эйлеровых углов и их первых производных. Эти уравнения можно разрешить

и выразить их решения через гиперэллиптические функции ${ }^{1}$ ).
в) Симметричный волчок: общее движение. Для того чтобы рассмотреть симметричный волчок, удовлетворяющий уравнению (56.1), удобно использовать два ортонормальных триэдра $(i, j, k),(\boldsymbol{I}, \boldsymbol{J}, \boldsymbol{K})$, показанных на рис. 22 . Триэдр ( $I, J, K)$ неподвижен в пространстве и вектор $K$ направлен вертикально вверх; вектор $k$ направлен вдоль
Рис. 22. Затрепленный триэдр ( $\boldsymbol{I}, \boldsymbol{J}, \boldsymbol{K}$ ) и движущийся триэдр $(\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k})$ для симметричного волчка.

оси симметрии $O D$, а вектор $j$ – горизонтален. Положение триәдра $(i, j, k)$ описывается углом $\vartheta$, дополнительным к широте, и азимутальным углом $\varphi$, показанным на рис. 22.

Угловые скорости а и $\Omega$ тела и триэдра $(i, j, k)$ соответственно выражаются уравнениями
\[
\left.\begin{array}{l}
\omega=\omega_{1} \boldsymbol{i}+\omega_{2} \boldsymbol{j}+\omega_{3} \boldsymbol{k}, \\
\boldsymbol{\Omega}=\Omega_{1} \boldsymbol{i}+\Omega_{2} \boldsymbol{j}+\Omega_{3} k,
\end{array}\right\}
\]

где
\[
\omega_{1}=\Omega_{1}=\sin \dot{\vartheta} \dot{\varphi}, \quad \omega_{2}=\Omega_{2}=-\dot{\vartheta}, \quad \Omega_{3}=\cos \dot{\vartheta} \dot{\varphi} .
\]

Момент импульса для точни $O$ равен
\[
\boldsymbol{h}=A \omega_{1} \boldsymbol{i}+A \omega_{2} \boldsymbol{j}+C \omega_{3} \boldsymbol{k} ;
\]

а момент силы тяжести относительно точки $O$
\[
\boldsymbol{G}=a \boldsymbol{k} \times(-m g \boldsymbol{K})=-m g a \sin \vartheta \boldsymbol{j},
\]

где $O D=a$.
Уравнение движения имеет вид
\[
\dot{\boldsymbol{h}}=\boldsymbol{G} ;
\]

оно приводит к трем дифференциальным уравнениям для $\vartheta, \varphi$ и $\omega_{3}$. Удобнее, однако, продолжать исследование не прямым путем ${ }^{1}$ ). Согласно уравнениям (49.17) имеем
\[
\omega_{3}=s=\text { const }
\]
( $s$ – спин волчка). Мы имеем также уравнения

постоянная $\alpha$ – момент импульса относительно оси $K$; кроме того, имеем интеграл энергии
\[
T+V=\frac{1}{2} A\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}\right)+\frac{-}{2} C \omega_{3}^{2}+m g a \cos \vartheta=E,
\]
$E=$ const. Подставляя значения $\vartheta$ и $\varphi$ из (56.14), (56.15) и (56.18) в уравнения (56.19) и (56.20), получаем следующие два уравнения для $\vartheta$ и $\varphi$ :
\[
\left.\begin{array}{c}
A \sin ^{2} \vartheta \dot{\varphi}=\alpha-\beta \cos \vartheta, \\
A\left(\dot{\vartheta}^{2}+\sin ^{2} \vartheta \dot{\varphi}^{2}\right)+\frac{\beta^{2}}{C}=2(E-m g a \cos \vartheta),
\end{array}\right\}
\]

где $\beta=C$ s. Исключая $\dot{\varphi}$ и полагая $\cos \vartheta=x$, получаем следующее дифференциальное уравнение:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\dot{x}^{2} & =f(x), \\
f(x) & =\frac{1}{A}\left(2 E-\frac{\beta^{2}}{C}-2 m g a x\right)\left(1-x^{2}\right)-\frac{(\alpha-\beta x)^{2}}{A^{2}} .
\end{array}\right\}
\]

Так как $f(x)$ положительна во все время движения (исключая моменты, когда $\dot{x}=0$ ) и так как $f(-1)<0, f(1)<0$, то эта функция есть кубический многочлен относительно $x$ и имеет три действительных корня $x_{1}, x_{2}, x_{3}$, таких, что
\[
-1<x_{1}<x_{2}<1<x_{3} ;
\]

специальные случаи равенства корней здесь не рассматриваются. Переменная $x$ колеблется в пределах $\left(x_{1}, x_{2}\right)$ и решением является выражение
\[
\cos \vartheta=x=x_{1}+\left(x_{2}-x_{1}\right) \operatorname{sn}^{2} n\left(t-t_{0}\right),
\]

где
\[
n=\sqrt{\frac{m g a\left(x_{3}-x_{1}\right)}{2 A}}, \quad k=\sqrt{\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{3}-x_{1}}},
\]
$k$ – модуль эллиптической функции Якоби sn. Азимутальный угол $\varphi$ задается уравнением
\[
\dot{\varphi}=\frac{\alpha-\beta x}{A\left(1-x^{2}\right)} .
\]

Ясно, что $\dot{\varphi}$ имеет один и тот же знак во время движения тогда и только тогда, когда $\alpha / \beta$ лежит вне интервала $\left(x_{1}, x_{2}\right)$.

Лучше всего изучить это движение, исследуя траекторию конца вектора $k$ на единичной сфере; полярные координаты на ней – $(\vartheta, \varphi)$. Траектория заключена между двумя окружностями, $x=x_{1}$ (верхней) и $x=x_{2}$ (нижней);

траектория имеет самопересечения тогда и только тогда, когда во время движения $\dot{\varphi}$ меняет знак ${ }^{1}$ ).

ү) Симметричный волчок; реаулярная прецессия. Любое движение волчка может быть исследовано, если воспользоваться сравнением моментов $G=\dot{h}$, согласно (56.17). Рассмотрим (принимая обозначения рис. 22) установившееся движение, заданное условиями
\[
\vartheta=\mathrm{const}, \quad \varphi=p t, \quad \omega_{3}=s,
\]

где $p$ и $s$ – некоторые постоянные. Согласно и (56.15) имеем уравнения
\[
\left.\begin{array}{rl}
\omega_{1} & =\Omega_{1}=p \sin \vartheta, \quad \omega_{2}=\Omega_{2}=0, \quad \Omega_{3}=p \cos \vartheta, \\
\boldsymbol{h} & =A p \sin \vartheta \boldsymbol{i}+C s \boldsymbol{k}, \\
\dot{\boldsymbol{h}} & =\boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{h}=p \sin \vartheta(A p \cos \vartheta-C s) \boldsymbol{j} .
\end{array}\right\}
\]

Момент сил, требуемый для поддержания этого движения, равен моменту силы тяжести (56.16), при условии, что $p$ и $s$ удовлетворяют уравнению
\[
C s p-A p^{2} \cos \vartheta=m g a .
\]

Это уравнение определяет установившиеся движения симметричного волчка, с осью, наклоненной под углом $\vartheta$ к вертикали; $s$ – спин и $p$ – угловая скорость прецессии, с которой ось волчка вращается вокруг вертикали, проведенной через вершину волчка.

Если заданы некоторые значения величин $p$ и $\mathfrak{\vartheta}$, то можно найти спин $s$, удовлетворяющий уравнению (56.29). Пусть, наоборот, заданы $s$ и $\mathfrak{\vartheta}$; тогда уравнение (56.29) $\qquad$

удовлетворяется при двух действительных значениях $p$, а именно,
\[
p=\frac{1}{2 A \cos \vartheta}\left(C s \pm \sqrt{C^{2} s^{2}-4 A m g a \cdot \cos \vartheta}\right),
\]

при условии, что
\[
s^{2}>\frac{4 A m g a \cos \vartheta}{C^{2}} .
\]

Если $s$ велико, то одна из этих угловых скоростей прецессии мала, а другая – велика; малая величина равна приблизительно
\[
p=\frac{m g a}{C s} ;
\]

это – очень полезная простая формула, из которой можно вычислить спин при помощи измерения медленной прецессии.
б) Устойчивость спящего волчка. Симметричный волчок называется спящим, если он вращается вокруг своей оси симметрии, причем эта ось сохраняет вертикальное направление. В этом движении постоянные $\alpha, \beta, E$, которые входят в кубичную функцию $f(x)$ формулы (56.22), имеют следующие значения:
\[
\alpha=\beta=C s, \quad E=\frac{1}{2} C s^{2}+m g a,
\]

где $s$ – спин движения, а функция $f(x)$ равна
\[
f(x)=\frac{2 m g a}{A}\left(1-x^{2}\right)\left(1+x-\frac{C^{2} s^{2}}{2 A m g a}\right)
\]

Функция имеет двойной корень в точке $x=1$ и простой корень в точке
\[
x=x_{0}=\frac{C^{2} s^{2}}{2 A m g a}-1,
\]

кроме случая $x_{0}=1$, когда корень является трехкратным. Предположим, что $x_{0}
eq 1$. Имеем тогда два случая:

$x_{0}>1$, показанный на рис. 23 , и $x_{0}<1$, показанный на рис. 24.

Јюбое возмущенное движение, для которого постоянные $\alpha, \beta, E$ мало отличаются от значений (56.33),
Рис. 23. График основной кубической функции для устойчивого спящего волчка.

колеблется в пределах ( $x_{1}, x_{2}$ ), определяемых кубичнои функцией $f(x)$, аналогичной функции (56.22), график которой мало отличается от графиков рис. 23 или 24 ,
Рис. 24. График основной кубической функции для неустойчивого сшящего волчка.

каждый из которых относится к невозмущенному движению. График возмущенного движения (показанный на чертеже пунктиром), согласно (56.23) будет иметь нули в точках

$\left(x_{1}, x_{2}\right.$ ), где $x_{1}<x_{2}<1$. В случае, показанном на рис. 23 , әти точки близки к 1 , а в случае, показанном на рис. 24 , $x_{1}$ близок к $x_{0}, x_{2}$ близок к 1 . В первом случае амплитуда колебаний в возмущенном движении мала, во втором случае она конечна (приблизительно от $x=x_{0}$ до $x=1$ ). Первое означает устойчивость, второе – неустойчивость.

Проведя аналогичные рассуждения, найдем, что $x_{0}=1$ дает устойчивость; итак, мы имеем как необходимое и достаточное условие устойчивости спящего волчка $x_{0} \geqslant 1$ или эквивалентное этому условию неравенство
\[
s^{2} \geqslant \frac{4 A m g a}{C^{2}},
\]

где $s$ – спин и $(C, A)$ – осевой и экваториальный моменты инерции волчка ${ }^{1}$ ).