Наиболее очевидная цель всей динамики состоит в том, чтобы решать динамические проблемы, которые возникают в физике и астрономии. Начав с рассмотрения физической модели (§2), такой, например, как солнечная система, мы переходим к соответствующему математическому понятию или математической модели, и пытаемся решить дифференциальные уравнения, относящиеся к этой модели.

Однако в общем недостаточно ясно, что́ мы подразумеваем, когда говорим о решении системы дифференциальных уравнений. В самом деле, проблема считается решенной, когда координаты частиц модели в момент времени $t$ выражены как простые функции времени $t$ и тех параметров, которые определяют их начальные положения и скорости. Но что такое простые функции? Мы будем, далее, считать функцию $f(t)$ не формальным выражением, содержащим $t$, а величиной, определяемой переменной $t$, тогда невозможно четко разграничить простые и непростые функции. Если мы опускаем слово простые и говорим только функции, то каждая динамическая проблема разрешена как только она хорошо сформулирована, потому что дифференциальные уравнения с начальными условиями и начальным значением $t$ определяют координаты в момент времени $t$. Это не только «домыслы» математиков, но и реальный факт, потому что в современных методах численного решения динамических проблем с помощью электронных вычислительных машин можно получить решение с любой желаемой степенью точности после замены дифференциальньх уравнений разностными. Например, в баллистике этот современный

метод в значительной степени вытеснил метод отыскания формул, представляющих решение ${ }^{1}$ ).

Однако хотя точные определения как бы ускользают от нас, не может быть сомнений в том, что проблема двух тел имеет простое решение, а проблема трех тел – нет. В случае проблемы двух тел мы имеем формулы, содержащие параметры; мы можем, изменяя значения этих параметров, изучить то, что можно назвать математической структурой класса всех решений, достигнув интеллектуального удовлетворения и понимания. Более того, мы можем образовать точные живые мысленные образы поведения двух тел, так что их движение становится для нас почти столь же реальным, как движение детали мапины, работающей перед нашими глазами.

В случае проблемы трех тел численное решение, основанное на заданных значениях определяющих параметров задачи, показывает нам, как движутся эти тела при заданных условиях движения. Но ни одно численное решение, ни набор таких решений не обнаруживают математической структуры проблемы. В этом случае, как и во многих других, мы должны искать понимания математической структуры, исследуя сами дифференциальные уравнения.

Но мы могли потребовать большего. Мы можем стремиться не только к пониманию математической структуры некоторой отдельной динамической проблемы, но к пониманию математической структуры класса проблем столь широкого, что в конце концов мы можем считать всю динамику находящейся в поле нашего зрения. Мы будем рассматривать те системы, для которых имеют место уравнения движения в форме Лагранжа или в форме Гамильтона; этот класс и в самом деле включает очень широкий круг проблем.

При изучении общих методов динамики мы преследуем две цели. Первая, практическая цель, увеличить наши возможности решения частных проблем, разработав стандартную технику с широкой областью применимости. Вторая, интеллектуальная цель, понять математическую структуру динамики. Но все обстоит совсем

не так просто. Развитие квантовой механики вне классической динамики показывает, что понимание математической структуры динамики может иметь бо́льшие практические последствия (т. е. результаты, которые увеличивают наши знания физического мира), чем сосредоточение внимания на частных задачах того типа, для которого первоначально были разработаны динамические методы. Имея это в виду, при дальнейшем изложении общей динамической теории основное внимание будем обращать на изучение ее математической структуры, частные же динамические задачи будем рассматривать скорее как иллюстрации, чем как самостоятельные предметы исследования.

Таким образом, мы стремимся понять математическую структуру динамики. Но здесь мы наталкиваемся на громадную трудность, потому что понимание – весьма индивидуальное дело. Это ведь не вопрос признания той или иной теоремы, а вопрос построения всеобщей картины, в которой конкретные детали подчинены центральной идее. Мнения же о том, какая центральная идея является наилучшей, различаются очень сильно. Что́ психологически удовлетворяет одного человека, может не понравиться другому.

В элементарной динамике мы все исходим из общих оснований, потому что обладаем наглядной геометрической интуицией движения частицы, и этой интуиции подчиняем формулы, которыми пользуемся. В самом деле, существует такой треугольник звеньев человеческого мышления:

Однако когда мы переходим к более сложным динамическим системам, становится все труднее и труднее следовать

геометрическим образам и, хотя это является шагом назад, но динамика становится областью, в которой рассматриваются только одни формулы. Это удовлетворит тех, кто находит удовольствие в чисто формальных доказательствах, но для большинства из нас потеря геометрической интуиции есть серьезное препятствие.

В настоящей книге сделана попытка дать геометрической интуиции необходимое место в общей динамической теории, систематически употребляя пространства представлений, в которых движение изображающей точки соответствует движению динамической системы ${ }^{1}$ ).

Общая динамическая теория занимает любопытное положение в физике. Исторически она была создана и развилась в форме ньютоновой динамики частиц и твердых тел. Но мы чувствуем настоятельную необходимость дать ей более широкую область применения, рассматривая ее как последовательную математическую теорию, приложимую к любой физической системе, поведение которой можно выразить в лагранжевой или гамильтоновой форме. Здесь возникает соблазн рассматривать эту теорию как чистую математику.

Наше изложение носит компромиссный характер. Аргументация не является достаточно строгой, чтобы удовлетворить современного чистого математика, но во всем изложении делается попытка представить математическую структуру независимо от предшествующей части этой книги (исключая допущения и истолкование). Все изложение основано на лагранжиане или гамильтониане, или на эквивалентной величине. Кинетическая энергия, столь важная в прямых физических приложениях ньютоновой динамики, играет второстепенную роль

(в иллюстративных примерах и в § 84, 85), и гамильтониан не ограничен требованием быть квадратичной функцией обобщенных импульсов, как это всегда имеет место в ньютоновой динамике.