Рассмотрим твердое тело с неподвижной точкой $O$. Проведем сферическую поверхность $S$ единичного радиуса с центром в точке $O$. Положение тела вполне определяется положениями тех точек его, которые лежат на поверхности $S$, и любое перемещение тела, которое оставляет неподвижной точку $O$, есть жесткое преобразование $S$ в себя.

Теорема Эйлера: Іроизвольное жесткое перемещение сферической поверхности в себя оставляет неподвижными две точки этой поверхности, лежащие на одном диаметре.

Эту теорему можно доказать (и найти неподвижные точки) построением, приведенным после уравнения (6.2); нужно только перпендикуляры к серединам отрезков в плоскости заменить окружностями больших кругов на сфере. Исключительный случай (чистый перенос на плоскости) не может возникнуть, так как две окружности больших кругов обязательно пересекаются ${ }^{1}$ ).

Теорему Эйлера можно выразить, сказав, что любое вращение вокруг неподвижной точки равносильно вращению вокруг некоторой прямой, проходящей через эту точку. Это свойство (неподвижная точка подразумевает неподвижную прямую) обусловлено нечетностью размерности пространства.

Как и в случае плоскости (см. рис. 3), можно рассматривать сложение двух вращений вокруг точки; при этом прямые на плоскости нужно заменить окружностями больших кругов на сфере. Теперь точки $A_{1}$ и $A_{2}$ – точки, в которых сфера пересекается с двумя осями вращений; точка $A_{1}$ лежит на одной оси, точка $A_{2}$ – на другой. Существенное различие состоит только в том, что хотя угол результирующего вращения по-прежнему равен $2 \varphi$ ( $\varphi$ – соответствующий угол рис. 3 ), мы имеем тёперь
\[
2 \varphi=\vartheta_{1}+\vartheta_{2}-2 E,
\]

где $E$ – сферический избыток треугольника $A_{1} A_{2} C_{12}$.
Ясно, что два вращения вокруг двух точек некоммутативны $\left(R_{2} R_{1}
eq R_{1} R_{2}\right.$ ), если только это не вращения вокруг общей прямой ${ }^{2}$ ).

Вращение полностью определяется тремя параметрами, а именно, углом вращения и двумя направляющими косинусами оси вращения. Следовательно, твердое тело, имеющее неподвижную точку, обладает тремя сте-

пенями свободы, т. е. тем же числом, что и пластинка, движущаяся в плоскости. Однако несмотря на аналогию между этими двумя системами, между ними имеется и большое алгебраическое различие. В плоском случае мы очень просто можем использовать комплексные числа, как это было сделано в случае уравнения (6.1), но чтобы рассмотреть вопрос о конечных вращениях вокруг точки, требуются значительно более сложные методы, как мы это увидим из следующих параграфов. Пространство конфигураций (§62) в обоих случаях трехмерно и имеет одинаковую связность (оно имеет один нестягиваемый в точку контур, § 63). Однако пространство конфигураций пластинки – плоское по отношению к кинематическому линейному элементу ( $\S 84$ ), а пространство конфигураций для тела, имеющего неподвижную точку, искривленное.