В ньютоновой динамике можно задать движение частицы и вычислить силу, которая вызывает это движение. Аналогично в теории относительности можно задать мировую линию и вычислить соответствующую 4-силу, согласующуюся с заданной постоянной собственной массой частицы; для этого надо использовать формулу
$$X_r=m\frac{d{\lambda }_r}{ds}.$$

Одна из простейших мировых линий есть псевдоокружпость, уравнения которой
$$x_1^2+x_4^2=a^2,x_2=x_3=0,$$

Рис. 52. Гишерболическое движение.
где $a$ — постоянная. Так как первое уравнение в действительных координатах имеет вид
$$x^2-{\dot{c}}^2{\iota }^2=a^2,$$

то это движение называется гиперболическим (рис. 52).

Параметрические уравнения мировой линии таковы:
$$x_1=a\mathrm{ch}\phi ,x_4=ia\mathrm{sh}\phi ,$$

отсюда
$$d{s}^2=-d{x}_1^2-d{x}_4^2=a^{2}d{\phi }^2,$$

так что отличные от нуля компоненты 4-скорости равны
$${\lambda }_1=\frac{d{x}_1}{ds}=\mathrm{sh}\phi ,i_4=\frac{d{x}_4}{ds}=i\mathrm{ch}\phi .$$

Согласно уравнениям (113.1) искомая 4-сила есть
$$\begin{array}{l}{X}_1=\frac{m}{a}\mathrm{ch}\phi =\frac{m{x}_1}{a^2},\\ X_4=\frac{im}{a}\mathrm{sh}\phi =\frac{m{x}_4}{a^2},\\ X_2=X_3=0.\end{array}\}$$

Таким образом, 4-сила направлена от начала координат пространства — времени и имеет величину, пропорциональную расстоянию Минковского.