В ньютоновой динамике можно задать движение частицы и вычислить силу, которая вызывает это движение. Аналогично в теории относительности можно задать мировую линию и вычислить соответствующую 4-силу, согласующуюся с заданной постоянной собственной массой частицы; для этого надо использовать формулу
\[
X_{r}=m \frac{d \lambda_{r}}{d s} .
\]

Одна из простейших мировых линий есть псевдоокружпость, уравнения которой
\[
x_{1}^{2}+x_{4}^{2}=a^{2}, \quad x_{2}=x_{3}=0,
\]

Рис. 52. Гишерболическое движение.
где $a$ – постоянная. Так как первое уравнение в действительных координатах имеет вид
\[
x^{2}-\dot{c}^{2} \iota^{2}=a^{2},
\]

то это движение называется гиперболическим (рис. 52).

Параметрические уравнения мировой линии таковы:
\[
x_{1}=a \operatorname{ch} \varphi, \quad x_{4}=i a \operatorname{sh} \varphi,
\]

отсюда
\[
d s^{2}=-d x_{1}^{2}-d x_{4}^{2}=a^{2} d \varphi^{2},
\]

так что отличные от нуля компоненты 4-скорости равны
\[
\lambda_{1}=\frac{d x_{1}}{d s}=\operatorname{sh} \varphi, \quad i_{4}=\frac{d x_{4}}{d s}=i \operatorname{ch} \varphi .
\]

Согласно уравнениям (113.1) искомая 4-сила есть
\[
\left.\begin{array}{l}
X_{1}=\frac{m}{a} \operatorname{ch} \varphi=\frac{m x_{1}}{a^{2}}, \\
X_{4}=\frac{i m}{a} \operatorname{sh} \varphi=\frac{m x_{4}}{a^{2}}, \\
X_{2}=X_{3}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Таким образом, 4-сила направлена от начала координат пространства – времени и имеет величину, пропорциональную расстоянию Минковского.