Под лагранжевой динамикой мы понимаем теорию, изложенную в § 64 и 65 , основанную на однородном лагранжиане $\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)$ или на обычном лагранжиане $L(q, t, \dot{q})$, под гамильтоновой динамикой — теорию, развитую в § 67 и 68 , основанную на уравнении энергии $\Omega(x, y)=0$ или гамильтониане $H(q, t, p)$. Мы покажем, что эти две динамики, по существу говоря, эквивалентны, хотя гамильтонова динамика является несколько более общей в том, что касается определения вектора имшульса энергии.

Мы покажем эту эквивалентность, установив соответствие
\[
\Lambda\left(x, x^{\prime}\right) \leftrightarrow \Omega(x, y)=0
\]

или, что то же самое,
\[
L(q, t, \dot{q}) \longleftrightarrow H(q, t, p) .
\]

После того как это сделано, безразлично, излагать ли динамику в терминах $\Lambda$ или $L$ или положить в основу уравнение $\Omega=0$ или $H$. Соответствие устанавливается требованием равенства лагранжева и гамильтонова действий для произвольной кривой в пространстве $Q T$.

Будем считать, что задан однородный лагранжиан $\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)$ и определим $y_{r}$ следующим обравом:
\[
y_{r}=\frac{\partial \Lambda}{\partial x_{r}^{\prime}} .
\]

Эти частные производные — однородные функции нулевой степөни относительно производных $x_{r}^{\prime}$, поэтому содержат только $N$ отношений $x_{1}^{\prime}: x_{2}^{\prime}: \ldots: x^{\prime}{ }_{N+1}$, и, конечно, координаты $x_{i}^{\prime}$. Исключеніе этих отношений из $N+1$

уравнений (69.3) дает уравнение, которое мы запишем ${ }^{1}$ ) в виде
\[
\Omega(x, y)=0 .
\]

Тогда вдоль любой кривой с параметром $и$ и с уравнением $x_{r}^{\prime}=d x_{r} / d u$ элемент лагранжева действия согласно (64.8) выражается так:
\[
d A_{L}=\Lambda\left(x, x^{\prime}\right) d u=x_{r}^{\prime} \frac{\partial \Lambda}{\partial x_{r}^{\prime}} d u=y_{r} d x_{r} .
\]

Согласно определению (69.1) это — элемент гамильтонова действия $d A_{H}$, соответствующий уравнению энергии (69.4). Действительно, $d A_{H}$ является более общей функцией, чем $d A_{L}$ потому, что вектор импульса — энергии, входящий в него, ограничен только уравнением энергии (69.4), тогда как тот же вектор в $d A_{L}$ точно определяется для каждой кривой посредством уравнения (69.3). Однако если мы варьируем гамильтонов луч или траекторию, закрепив концы, то $\delta A_{H}=0$ для всех вариаций $\delta y_{r}$, совместных с уравнением $\Omega=0$, и поэтому, в частности, для $\delta y_{r}$, совместных с условием (69.3). Таким образом, уравнение $\delta A_{H}=0$ содержит в себе $\delta A_{L}=0$, и это означает, что лагранжевы лучи совпадают с гамильтоновыми лучами.

Эти рассуждения устанавливают однозначное соответствие
\[
\Lambda\left(x, x^{\prime}\right) \rightarrow \Omega(x, y)=0 .
\]

Если задан однородный лагранжиан, то уравнение энергии получается исключением $x_{r}^{\prime}$ из уравнений (69.3), как это описано выше. Эквивалентное однозначное соответствие
\[
L(q, t, \dot{q}) \rightarrow H(q, t, p)
\]

можно получить непосредственно из $N+1$ уравнений
\[
p_{\rho}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\rho}}, \quad H=\dot{q}_{\rho} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\rho}}-L,
\]

исключив $N$ величин $q_{\rho}$ и выразив $H$ как функцию $H(q, \quad t, p)$.

Будем исходить теперь из гамильтоновой динамики, зависав уравнение энергии в общем виде:
\[
\Omega(x, y)=0 .
\]

На произвольной кривой в пространстве $Q T$, уравнениями которой являются $x_{r}=x_{r}(u)$, вектор импульса — энергии $y_{r}$ можно считать произвольным, за исключением только одного условия: он должен удовлетворять уравнению энергии. Ограничим теперь класс допустимых векторов требованием, чтобы они удовлетворяли уравненням
\[
\frac{d x_{r}}{d u}=\vartheta \frac{\partial \Omega}{\partial y_{r}},
\]

где $\vartheta$ — неопределенный множитель. Будем называть такие $y_{r}$ естественными. Эти уравнения, очевидно, совшадают с одной групой уравнений движения (68.7). Разрешиз $N+2$ уравнений (69.9) и (69.10) и выразив, следоваопределим функцию $\Lambda$ следующим образом:
\[
\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)=y_{r} x_{r}^{\prime} .
\]

Тогда элемент гамильтонова действия можно представить в виде
\[
d A_{H}=y_{r} d x_{r}=y_{r} x_{r}^{\prime} d u=\Lambda\left(x, x^{\prime}\right) d u,
\]

но это — элемент лагранжева действия для однородного лагранжиана $\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)$ того же вида, что и (64.8) (об однородности $\Lambda$ см. ниже).

Объединяя все эти уравнения, можем сказать, что из уравнений
\[
x_{r}^{\prime}=\vartheta \frac{\partial \Omega}{\partial y_{r}}, \quad \Lambda=y_{r} x_{r}^{\prime}, \quad \Omega(x, y)=0
\]

получено однозначное соответствие
\[
\Omega(x, y)=0 \rightarrow \Lambda\left(x, x^{\prime}\right)
\]

исключением $\vartheta$ и $y_{r}$ и выражением $\Lambda$ через оставшиеся переменные. Что касается однородности, то если эти

уравнения выполняются при некоторых значениях $\left(\Lambda, x_{r}^{\prime}, \vartheta\right)$, то они выполняются также и при значения $\left(k \Lambda, k x_{r}^{\prime}, k \vartheta\right)$ для любого $k$. Это и означает, что функция $\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)$ — однородная первой стешени, но не обязательно положительно однородная. Однако функция $\Lambda$ может иметь несколько ветвей; умножение на отрицательное $k$ может привести к переходу с одной ветви на другую. Иллюстрацней может служить пример § 70 . В § 64 требуется только положительная однородность.
Аналогично однозначное соответствие
\[
H(q, t, p) \rightarrow L(q, t, \dot{q}),
\]

благодаря которому. мы переходим от заданного гамильтониана к эквивалентному лагранжиану, можно получить из уравнений
\[
\dot{q}_{\rho}=\frac{\partial H}{\partial p_{\rho}}, \quad L=\dot{q}_{\rho} p_{\rho}-H .
\]

Для этого надо исключить $p_{\rho}$ и выразить $L$ в виде $L(q, t, \dot{q})$.
Мы установили, по существу, эквивалентность лагранжевой и гамильтоновой динамики. Соответствия между ними иллюстрируются в $\S 70$, а их геометрическая сущность рассматривается в $\$ 71$.