9. Отображение множеств.

Пусть даны два множества X и К и пусть имеется правило ставящее в соответствие каждому элементу некоторый определенный Тогда говорят, что задано отображение I множества X в множество У. Элемент, соответствующий х в силу правила обозначают и пишут: . Элемент у называют образом элемента х при отображении а элемент х называют прообразом элемента у при отображении Отображение называют также функцией, заданной на множестве X и принимающей значения во множестве Множество X называют областью определения функции

Если всякий является образом некоторого при отображении то отображение называют отображением множества X на множество . В этом случае множество называется областью значений функции

Приведем примеры отображений множеств:

а) Пусть X — множество всех действительных чисел, — множество всех неотрицательных чисел. Равенство связывающее с элементом множества X элемент у множества К, задает отображение X на При этом числу 2 соответствует число 4, числу 6 — число 36 и т. д.

б) Пусть X — множество всех действительных чисел, отличных от числа 3, К — множество всех действительных чисел. Равенство связывающее с элементом х множества X элемент множества К, задает отображение X в Является ли это отображение отображением на К?

в) Пусть X — множество всех кругов, множество всех действительных чисел. Поставим каждому кругу в соответствие длину его радиуса. Мы получим отображение множества X в множество Другое отображение X в получится, если поставить каждому кругу в соответствие его площадь.

г) Пусть X — множество всех треугольников, множество всех окружностей. Поставим каждому треугольнику в соответствие вписанную в него окружность. Получим отображение множества X в Другое отображение X в получится, если поставить в соответствие каждому треугольнику описанную вокруг него окружность.

д) Пусть — множество всех деревьев на земном шаре, множество всех плодов, растущих на этих деревьях. Поставим каждому плоду в

соответствие дерево, на котором он растет. Получим отображение множества X в множество

Пусть — отображение множества X в множество и пусть Множество всех элементов вида называется образом множества при отображении и обозначается

Рассмотрим некоторый элемент у из множества и возьмем все элементы х из А, отображающиеся в у при отображении Множество всех этих элементов называют полным прообразом элемента у при отображении и обозначают . В первом примере в) полным прообразом положительного числа является множество всех кругов радиуса . В первом примере г) полным прообразом любой данной окружности является множество всех треугольников, описанных вокруг этой окружности.

Если полный прообраз каждого элемента у из при отображении или пуст, или состоит только из одного элемента, то отображение называется вложением в Например, функция с отрезком [1, 4] в качестве области определения определяет вложение этого отрезка в действительную ось.

Если есть отображение множества X на множества и полный прообраз каждого элемента у из состоит лишь из одного элемента, то отображение называется взаимно-однозначным отображением множества X на множество Иными словами, отображение взаимно-однозначно, если каждый элемент из его области значений является образом одного и только одного элемента его области определения.

Упражнения

(см. скан)