4. Интерполяционные формулы.
Мы доказали, что многочлен степени 
однозначно определяется своими значениями в 
точке. Иными словами, если взять любые 
точку 
и любые значения 
то существует не более одного многочлена 
такого, что 
Естественно возникает вопрос, а существует ли хоть один такой многочлен? Покажем, что такой многочлен всегда существует.
Именно, рассмотрим выражение
Здесь в числитель дроби с коэффициентом 
входят все множители 
кроме 
Знаменатель получается из числителя заменой х на 
Так как каждый числитель в формуле (1) является произведением 
линейных сомножителей, степень многочлена, тождественно равного 
(я), не больше, чем 
(она может оказаться меньше, чем 
если после раскрытия скобок и приведения подобных членов коэффициент при 
обратится в нуль).
Покажем, что этот многочлен принимает нужные значения в точках 
. В самом деле, пусть 
. Так как множитель 
входит в числители всех слагаемых, кроме слагаемого с коэффициентом 
то все эти слагаемые обратятся в нуль. В слагаемом же с коэффициентом 
числитель дроби совпадет при 
со знаменателем, и потому дробь равна 1, а само слагаемое равно 
Тем самым доказано, что 
Формула (1) называется интерполяционной формулой Лагранжа. Существуют другие формы записи интерполяционной формулы. Однако надо иметь в виду, что любая запись интерполяционной формулы приводит к тому же многочлену, что и формула Лагранжа. Ведь мы знаем, что многочлен 
степени однозначно определяется своими значениями в точках 
Упражнения
(см. скан)
