7. Метод алгебраического сложения уравнений.

Кроме метода подстановки, при решении систем алгебраических уравнений применяется метод алгебраического сложения. Он основан на следующей теореме.

Теорема 4. Если к одному из уравнений системы

прибавить другое уравнение, умноженное на любой множитель определенный при всех допустимых значениях неизвестных, а второе уравнение оставим неизменным, то получится система уравнений, равносильная исходной.

Таким образом, система (1) равносильна системе

где множитель определен при всех допустимых значениях неизвестных.

Доказательство. Пусть — решение системы (1), то есть

Умножим обе части равенства на число и прибавим к равенству . Мы получим, что а потому удовлетворяет и системе (2).

Точно так же доказывается, что любое решение системы уравнений (2) удовлетворяет системе уравнений (1). Значит, системы уравнений (1) и (2) равносильны.

Из теоремы 4 вытекает такое

Следствие. Если к одному из уравнений системы (1) прибавить другое уравнение системы, умноженное на любое число, а второе уравнение оставить неизменным, то получим систему, равносильную первоначальной.

Покажем, как применяются эти утверждения для решения систем уравнений. Пусть дана система уравнений:

Здесь нецелесообразно выражать х через у или у через х, так как мы получили бы довольно сложное иррациональное уравнение. Поэтому поступим иначе. Прибавим к первому уравнению системы второе уравнение, умноженное на 3. В силу формулы для куба суммы получим систему уравнений:

равносильную заданной. Эта система равносильна системе:

(поскольку уравнение равносильно

А теперь выразим из первого уравнения у через х и подставим во второе уравнение. Мы получим:

или

Из второго уравнения находим: . Соответствующие значения у равны Значит, решениями заданной системы уравнений являются:

Задача. Массы трех планет А, В и С равны соответственно . Через планеты проведена плоскость и на ней выбрана

система координат. Координаты планет равны соответственно При каком значении на плоскости существует точка, в которой притяжение ко всем трем планетам одинаково?

Решение. По закону всемирного тяготения сила притяжения между телами с массами равна где

витационная постоянная, расстояние между этими телами. Если — некоторая точка плоскости, то ее расстояние до точки А равно до точки равно , а до точки равно

Поэтому силы, с которыми тело массы находящееся в точке притягивается к планетам, равны

По условию задачи должны выполняться условия или, иначе,

После сокращения обоих уравнений на и освобождения от знаменателей получаем равносильную систему уравнений

или

Вычтем первое уравнение из второго. Мы получим, что

и потому

Подставляя это значение у в первое уравнение, получаем для х квадратное уравнение

Из него находим:

Отсюда получаем, что х принимает действительные значения лишь в случае, когда , то есть при . Если то искомой точкой является , а если , то

Упражнение 7. Решите следующие системы уравнений:

(см. скан)

(см. скан)