2. Выражение степенных сумм

Рассмотрим первые три степенные суммы . Легко видеть, что их можно выразить через многочлены

Докажем, что это утверждение верно для любых степенных сумм.

Теорема 8. Любая степенная сумма может быть представ лена в виде многочлена от переменных

Иными словами, для любого существует такой многочлен что после подстановки в него и упрощения он превращается в

Доказательство. Применим для доказательства метод математической индукции. При наше утверждение справедливо, поскольку . Таким образом, Предположим теперь, что утверждение доказано для степенных сумм . Пусть для любой такой суммы найден многочлен обладающий тем свойством, что Заметим теперь, что

и потому

Это равенство можно записать так:

Так как

то получаем, что

Мы предположили, что — многочлены от Подставим выражения этих многочленов в полученное равенство, раскроем скобки, приведем подобные члены и сгруппируем их в порядке убывания степеней . В результате мы получим выражение для в виде многочлена от

Итак, доказываемое утверждение верно при и из его справедливости при следует справедливость для Значит, оно верно для всех

Примеры

1) Выразим через степенные суммы . По формуле (1) имеем:

Так как

то

Точно так же находим:

Упражнения

(см. скан)