10. Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числителе алгебраической дроби.
Часто бывает нужно найти численное значение иррационального выражения при заданных значениях входящих в него букв. При этом бывает неудобно делить на иррациональные числа. В таких случаях стараются преобразовать заданное иррациональное выражение так, чтобы его знаменатель не содержал корней.
Посмотрим сначала, как выполняется это преобразование в случае, когда знаменатель дроби — корень из одночлена. Пусть дано иррациональное выражение 
. Если мы хотим освободиться от иррациональности в знаменателе этой дроби, то надо помножить и числитель, и знаменатель на такой множитель, чтобы в знаменателе извлекся корень. Ясно, что для этого надо умножить подкоренное выражение в знаменателе дроби на 
тогда оно станет равно 
и корень извлечется. Вспоминая правило умножения корней, видим, что числитель и знаменатель надо умножить на 
Тогда мы получим, что
Вообще, если дано выражение вида 
, причем все показатели 
меньше 
, то надо умножить числитель и знаменатель дроби на один и тот же множитель
Тогда при 
получим:
Этот ответ остается справедливым при нечетном 
для любых 
. Если же 
четно 
, то в общем случае в знаменателе надо писать 
Теперь рассмотрим случай, когда знаменатель алгебраической дроби имеет вид 
, где А и В — положительные рациональные выражения. В этом случае надо умножить и числитель, и знаменатель на выражение 
(оно получается из знаменателя изменением знака при 
). Так как 
, то при 
Поскольку (А — В) — рациональное выражение, мы избавляемся от иррациональности в знаменателе дроби. (Точно так же избавляются от иррациональности в знаменателе, если он имеет вид 
) Например,
Аналогично действуют в случае, когда знаменатель дроби имеет вид 
, где А и В — рациональные выражения. Уничтожение иррациональности в знаменателе основывается здесь на формуле
(см. стр. 32). Именно, положим 
и умножим числитель и знаменатель на одно и то же выражение
(где надо заменить а на 
на 
Тогда знаменатель примет вид:
то есть станет рациональным выражением. Случай, когда знаменатель равен 
разбирается точно так же. Здесь надо положить 
Если знаменатель имеет вид 
или 
, то надо положить 
(соответственно 
) и воспользоваться формулой
Если знаменатель имеет вид 
то корни и 
надо сначала привести к общему показателю. Например,
Случай, когда знаменатель является суммой трех или большего числа корней, сложнее. Однако можно показать, что какой бы сложный вид ни имел знаменатель, всегда можно освободиться от иррациональности в знаменателе. Общие методы таких преобразований изучаются в высшей алгебре.
В некоторых задачах, наоборот, бывает целесообразно уничтожить иррациональность в числителе алгебраической дроби, т. е. преобразовать дробь к такому виду, чтобы ее числитель содержал лишь рациональные выражения. Читателю должно быть ясно, что эта цель достигается теми же способами, как уже в разобранных выше примерах.
Упражнение 22. Уничтожить иррациональность в знаменателях дробей:
(см. скан)
