§ 2. Системы линейных уравнений

1. Введение.

Уравнения первой степени с двумя и тремя неизвестными изучают в восьмилетней школе. Как показано в курсе геометрии, уравнение первой степени с двумя переменными задает прямую линию. Поэтому принято называть уравнение первой степени линейным. Например, линейное уравнение относительно неизвестных и может быть сведено к виду

Числа называют коэффициентами при неизвестных, свободным членом уравнения.

Мы рассмотрим в этом параграфе системы линейных уравнений со многими неизвестными. Для таких систем становится неудобным обозначать неизвестные через и. Значительно удобнее перенумеровать неизвестные и обозначить их Коэффициенты при неизвестных тоже неудобно обозначить различными буквами Обычно их обозначают одной буквой с двумя номерами (индексами). Первый номер обозначает номер уравнения, а второй — номер неизвестного. Например, это коэффициент при в третьем уравнении. Вообще — коэффициент при уравнении. Свободные члены мы будем обозначать через .

В восьмилетней школе мы рассматривали лишь системы уравнений, для которых число уравнений равнялось числу неизвестных. Сейчас мы будем изучать системы, состоящие из линейных уравнений с неизвестными. Такие системы записываются следующим образом:

Например, для системы

имеем:

Нашей задачей является найти все решения системы линейных уравнений (2) или показать, что эта система не имеет решений, что она несовместна. Мы покажем ниже, что возможны три случая:

а) система (2) несовместна,

б) система (2) имеет единственное решение,

в) система (2) имеет бесконечное множество решений.