3. Корни многочлена.

При различных значениях х многочлен

принимает различные значения. Нас будут интересовать те значения х, при которых многочлен обращается в нуль. Эти значения называют корнями многочлена. Итак, число а называется корнем многочлена если Таким образом, понятие корня многочлена (1) равносильно понятию корня уравнения

(Теория таких уравнений будет изложена в главе II.) Следует отметить, что вся теория многочленов (как, впрочем, и почти вся алгебра) развивалась в связи с решением уравнений.

В первую очередь установим связь между корнями многочлена и его линейными делителями, то есть делителями вида х—а. Ясно, что если многочлен делится без остатка на то а является его корнем. В самом деле, пусть Тогда имеем

и, значит, а — корень многочлена

Справедливо и обратное утверждение: если число а является корнем многочлена то этот многочлен делится без остатка на х—а.

Для доказательства воспользуемся теоремой Безу. По этой теореме остаток от деления на х—а равен Поэтому, если а — корень многочлена , то остаток равен нулю:

Итак, задача нахождения корней многочлена равносильна задаче отыскания его линейных делителей.

Покажем теперь, что если — различные корни многочлена то делится на . В самом деле, так как а — корень для то делится без остатка на

Подставим в обе части этого равенства Так как Р — корень многочлена то получаем но и потому . Таким образом, Р является корнем многочлена , а потому делится без остатка на Таким образом,

Это и означает, что делится без остатка на

Точно так же доказывается, что если попарно различные корни многочлена то делится без остатка на выражение

Докажем теперь следующую теорему.

Теорема 1. Если многочлен не является многочленом степени большей и обращается в нуль при различных значениях то этот многочлен является нулевым многочленом.

Доказательство. Допустим, что многочлен не является нулевым. Тогда по условию теоремы его степень не больше чем Так как числа являются корнями многочлена то он делится без остатка на произведение

откуда видно, что степень многочлена не меньше чем . Полученное противоречие показывает, что многочлен является нулевым многочленом.

Из доказанной теоремы вытекает важное следствие. Возьмем два многочлена степень которых не превосходит , и предположим, что они принимают одинаковые значения при значении х. Покажем, что тогда многочлены имеют одинаковые степени и коэффициенты.

Для доказательства рассмотрим разность данных многочленов. По условию многочлен обращается в нуль при значении х и не является многочленом степени, большей чем Поэтому в силу предыдущей теоремы все его коэффициенты равны нулю. А это и означает, что коэффициенты многочленов совпадают, а значит, совпадают и их степени.

В частности, получаем следующее утверждение: если два многочлена тождественно равны, то есть принимают одинаковые значения при всех значениях х, то они имеют одинаковые степени и коэффициенты при одинаковых степенях х. Иными словами, не может быть двух различных многочленов (в канонической форме!), принимающих одинаковые значения при всех х. Отсюда следует сформулированное ранее утверждение: целое рациональное выражение тождественно равно только одному многочлену. В самом деле, два многочлена, тождественно равные одному и тому же целому рациональному выражению, тождественно равны друг другу, а поэтому их коэффициенты при одинаковых степенях х совпадают.