2. Двучленные уравнения.

Двучленными уравнениями называют уравнения вида

Перенесем свободный член уравнения в правую часть и разделим обе части получившегося равенства на а. Мы получим уравнение

Если — действительные числа и если рассматриваются лишь действительные корни уравнения, то дело обстоит следующим образом: при четном уравнение имеет два корня, если и ни одного корня, если при нечетном уравнение имеет только один корень.

Будем теперь считать любыми комплексными числами (в частном случае — действительными числами) и поставим задачу отыскания всех комплексных корней уравнения (1).

Ясно, что решениями нашего уравнения являются корни степени из числа Обозначим модуль этого числа через , а его аргумент через :

Тогда по формуле (4) из п. 6 § 2 все решения двучленного уравнения даются формулой:

где пробегает значения .

Рассмотрим отдельно уравнения вида . Их решения называются корнями степени из единицы. При некоторых значениях можно вычислить корни степени из единицы, не прибегая к тригонометрической форме комплексных чисел.

Решим уравнение:

Разлагая левую часть на множители, получаем

Тем самым решение нашего уравнения свелось к решению линейного уравнения и квадратного уравнения Решая их, находим, что корнями третьей степени из единицы являются

Точно так же решается уравнение . Разлагая левую часть на множители, получаем:

Отсюда следует, что корнями уравнения являются числа:

Уравнение можно записать в виде:

или, иначе,

Поэтому его корнями являются числа:

Далее, решим уравнение . Разлагая левую часть на множители, получаем:

Легко найти четыре корня этого уравнения: . Чтобы найти остальные корни, надо решить уравнение . Для этого добавим и вычтем . Мы получим уравнение

или, иначе,

Разлагая левую часть на множители, получаем:

Теперь задача свелась к решению совокупности двух квадратных уравнений:

Из них находим еще четыре корня уравнения:

Несколько сложнее решение уравнения

Разлагая левую часть на множители, получаем уравнение:

Поэтому . Для отыскания остальных корней надо решить уравнение . Это уравнение является возвратным. Разделим обе части уравнения на и положим . Так как

то уравнение примет вид: . Отсюда находим: Поэтому решение нашего уравнения сводится к решению двух уравнений:

или, что то же, совокупности квадратных уравнений:

Решая эти уравнения, находим, что