§ 3. Некоторые виды алгебраических уравнений

1. Комплексные корни алгебраических уравнений.

В предыдущих главах мы рассматривали лишь уравнения с действительными коэффициентами и лишь действительные корни таких уравнений.

После введения комплексных чисел круг изучаемых уравнений расширяется. Теперь уже можно рассматривать и уравнения с комплексными коэффициентами, например, такие, как

или

Для этих уравнений, да и для уравнений с действительными коэффициентами, теперь можно рассматривать не только действительные, но и комплексные корни. Например, ранее для уравнения мы имели лишь два корня: . Это уравнение можно записать в виде

причем третий множитель для действительных значений х не обращается в нуль. Теперь мы можем решить и уравнение

получающееся приравниванием нулю третьего множителя. Оно дает еще два корня: .

Таким образом, надполем комплексных чисел уравнение имеет четыре корня:

Можно показать, что почти все свойства многочленов и уравнений над полем действительных чисел сохраняются после перехода к многочленам и уравнениям над полем комплексных чисел. Повторим кратко эти свойства.

Если — многочлен над полем комплексных чисел и а — любое комплексное число, то остаток от деления на равен . В частности, если а — корень многочлена то делится на без остатка. Если — различные корни многочлена , то делится без остатка на выражение . Поэтому многочлен степени не может иметь больше чем различных корней.

Мы опускаем доказательство этих свойств в случае многочленов над полем комплексных чисел, поскольку оно проводится точно так же, как в главе II.

Перейдем теперь к рассмотрению некоторых типов уравнений, решение которых тривиально над полем действительных чисел, но представляет большой интерес после расширения этого поля до поля комплексных чисел.