§ 5. Повторение испытаний

Правила сложения и умножения вероятностей дают возможность определять вероятности достаточно сложных комбинаций событий. Одной из наиболее простых и вместе с тем весьма распространенных ситуаций, с которой мы сейчас познакомимся, является схема повторения независимых испытаний.

Пусть при некотором испытании событие А может наступить или не наступить. Обозначим вероятность наступления события А через и вероятность его ненаступления — через

Рассмотрим возможные исходы двух последовательных независимых испытаний. Они описываются в в которой приведены также вероятности различных исходов. Теперь нетрудно подсчитать, что вероятность двукратного появления события А равна

Таблица 1

вероятность его однократного появления (безразлично, при каком испытании, то есть вероятность того, что при двух испытаниях

один раз наступит А и один раз А) равна а вероятность того, что А не наступит ни разу, равна Очевидно, что эти результаты единственно возможны, причем

Приведенное рассуждение без труда переносится на случай большего числа испытаний. Например, при трех испытаниях вероятность наступления события А три раза подряд равна как вероятность совмещения событий. Чтобы найти вероятность наступления события А два раза, безразлично в каком порядке, заметим что это возможно при следующих трех исходах: вероятность каждого из которых так что вероятность двукратного наступления события А при трех испытаниях Аналогично подсчитывается вероятность однократного наступления и вероятность того, что событие Л не наступит ни разу, которая равна . Как и выше,

Мы можем теперь формулировать общую задачу. Производится серия из независимых испытаний, причем вероятность наступления события А при каждом отдельном испытании равна Требуетя определить вероятность того, что событие наступит точно раз.

Такая задача может встретиться, например, при подсчете вероятности попаданий в цель при выстрелах и во многих аналогичных случаях, которые будут рассмотрены ниже.

Заметим прежде всего, что два крайних частных случая

легко находятся по теореме умножения как вероятности совмещения событий.

Подсчитаем теперь вероятность того, что при испытаниях событие А появится ровно раз в определенном порядке, например, как в выражении

Ясно, что эта вероятность равна . Очевидно, что вероятность появления события А также раз, но в другом порядке, будет той же самой. Число всех возможных выражений из элементов, в которых раз встречается А в различном порядке, равно числу сочетаний

Поэтому, пользуясь теоремой сложения вероятностей, получаем:

Из этой формулы видно, что вероятности представляют отдельные слагаемые в разложении бинома:

Поэтому формулу (1) называют биномиальной.

Итак, сформулированная выше задача полностью решена. Проиллюстрируем теперь полученную формулу двумя примерами.

Пример 1. Бросается монета 6 раз. Какова вероятность выпадения герба раз?

Решение. В данном случае . Пользуясь полученной формулой, приходим к результатам:

Эти результаты можно изобразить графически, отложив по оси абсцисс значения а по оси ординат — значения Очевидно, что наиболее вероятное число выпадений герба однако вероятность эта невелика.

Пример 2. Производится восемь выстрелов по резервуару с горючим, причем первое попадание вызывает течь, а второе — воспламенение горючего. Какова вероятность того, что резервуар будет подожжен, если вероятность попадания при отдельном выстреле равна

Решение. Найдем сначала вероятность противоположного события, т. е. вероятность того, что резервуар не будет подожжен. Это произойдет лишь тогда, когда число попаданий не превзойдет единицы. Вероятность этого равна:

Так как здесь то

откуда следует, что вероятность того, что резервуар будет подожжен, равна:

Упражнения

11. Определить вероятность того, что номер первой встретившейся автомашины не содержит: а) цифры пять; б) двух пятерок.

(Указание: при решении принять, что все номера — четырехзначные, неповторяющиеся и равновозможные.)

12. В семье десять детей. Считая вероятность рождения мальчика и девочки 0,5, определить вероятность того, что в данной семье: а) пять мальчиков, б) мальчиков не менее трех, но не более восьми.

13. Производится пять независимых выстрелов по цели, вероятность попадания в которую равна 0,2. Для разрушения цели достаточно трех попаданий. Найти вероятность того, что цель будет разрушена.

14. Среди коконов некоторой партии 30% цветных. Какова вероятность того, что среди 10 случайно отобранных из партии коконов: а) 3 цветных,

в) не более 3 цветных?

15. Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятность попадания мяча при каждом броске равна соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что у обоих будет равное количество попаданий.