8. Краткие исторические сведения.

Некоторые задачи, решаемые по сути дела алгебраическими методами, встречаются еще в вавилонских клинописных текстах (примерно 1700 г. до н. э.). В этих текстах изложены правила суммирования прогрессии, нахождения суммы квадратов, решения квадратного уравнения и т. д. Однако все эти правила лишь пояснялись на числовых примерах, но не формулировались в общем виде — не было буквенной символики.

В древней Греции начинается развитие алгебры как теоретической науки. Поскольку у греческих математиков не было общего понятия действительного числа, они развивали геометрическую алгебру. Например, вместо формулы (а говорили, что площадь квадрата, построенного на отрезке, равном сумме двух отрезков, равна сумме площадей квадратов, построенных на слагаемых отрезках и удвоенной площади прямоугольника,

сторонами которого являются эти Отрезки. Выражения вида трактовались как объемы геометрических тел. Лишь к III веку н. э. у Диофанта Александрийского появляются зачатки буквенной символики.

После крушения античной цивилизации центр математической мысли перемещается в арабские государства. Крупнейшим достижением арабов было создание алгебры как самостоятельной ветви математики (само название «алгебра» — арабского происхождения: от аль-джебр — восстановление; так назывался один из методов решения уравнений). Арабские математики установили формулы для разложения для суммы исследовали кубические уравнения и т. д.

В странах, где в это время господствовала христианская церковь, математика почти не развивалась. В некоторых странах математические исследования были запрещены, они рассматривались как попытка возрождения язычества. Указ византийского императора Юстиниана запрещал заниматься математикой под страхом смертной казни. Лишь в отдельных трактатах по богословию и схоластической философии рассматривались некоторые математические вопросы.

Однако потребности практики, развитие промышленности, торговли и мореплавания привели к необходимости возродить науки, и в частности математику. Первоначально европейские ученые ограничивались изучением древнегреческой науки, но потом познакомились с достижениями арабских математиков, и в частности с алгеброй (многие европейские ученые получили образование в арабских университетах).

Как у арабов, так и у первых европейских алгебраистов, не было буквенной символики. Формулы излагались словесно, что затрудняло их чтение, преобразование и использование. Алгебраическая символика начинает развиваться с конца XV века. В это время у немецких алгебраистов появляются знаки Однако итальянские математики еще долгое время продолжали пользоваться знаками и — сокращениями латинских слов и . Систематическое применение буквенных обозначений в алгебре начинается с работ французского алгебраиста Ф. Виета (1540—1603). В его работах буквы используются лишь для обозначения положительных чисел, причем показатели степеней обозначаются словами. Вместо скобок Виета писал черту.

Особые обозначения для степеней неизвестных впервые появляются у голландского ученого С. Стевина (1548—1620) и его ученика француза Жирара (1595—1633). Они вместо писали 3, а если в выражении содержались еще другие буквы, то писали (от латинских слов secundus — второй, tertius — третий). Жирар впервые ввел скобки.

Символика Виета была усовершенствована английским математиком Т. Гэрриотом, который, однако, еще не применял обозначений для показателей степени, а выписывал все сомножители, входящие в одночлены. Современный вид алгебраических обозначений в основном принадлежит великому французскому математику и философу Р. Декарту (1596—1650).

Приведем некоторые примеры обозначений, применявшихся разными учеными:

Основные свойства арифметических действий, лежащие в основе алгебраических преобразований, были установлены еще в древней Греции (в геометрической форме). Однако полная и последовательная система основ арифметики была построена лишь в XIX веке немецкими математиками Г. Грассманом и Р. Дедекиндом (общепринятая в настоящее время аксиоматика исходит от итальянского математика Дж. Пеано). Такое построение оказалось необходимым после того, как были открыты величины (векторы, матрицы, кватернионы), правила действий над которыми отличались от правил действий над числами. Например, при изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет знак. Для каждого типа величин надо было строить свою алгебру (векторная алгебра, матричная алгебра и т. д.). Это усилило интерес к изучению общих свойств алгебраических действий. Были построены теории колец и полей, структур и других алгебраических образований. Благодаря общности полученных в этих теориях результатов, они оказались приложимыми к величинам самых разных видов. В настоящее время изучение общих свойств алгебраических операций занимает важное место в алгебраической науке. Большой вклад в общую алгебру внесли советские математики О. Ю. Шмидт, А. Г. Курош, А. И. Мальцев и другие.