4. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.

В то время как сложение и вычитание комплексных чисел удобнее делать в алгебраической форме, умножение и деление проще выполнять, используя тригонометрическую форму комплексных чисел.

Возьмем два произвольных комплексных числа, заданных в тригонометрической форме:

Перемножая эти числа, получим:

Но по формулам тригонометрии

и потому

Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы

Рис. 41

складываются. Так как при этом модули преобразуются отдельно, а аргументы — отдельно, то выполнение умножения в тригонометрической форме проще, чем в алгебраической.

Из равенства (1) вытекают соотношения:

Поскольку деление — действие, обратное умножению, то при получаем, что

или

Иными словами, модуль частного равен отношению модулей делимого и делителя, а аргумент частного — разности аргументов делимого и делителя.

Остановимся теперь на геометрическом смысле умножения комплексных чисел. Формулы (1) — (3) показывают, что для нахождения произведения надо сначала увеличить модуль числа раз, не изменяя его аргумента, а затем увеличить аргумент полученного числа на не изменяя его модуля. Первая из этих операций геометрически означает гомотетию относительно точки О с коэффициентом , а вторая — поворот относительно точки О на угол, равный Считая здесь один множитель постоянным , а другой — переменным можем сформулировать результат так: формула

определяет на комплексной плоскости произведение гомотетии относительно точки О (с коэффициентом, равным ) и поворота относительно той же точки О (на угол, равный , см. рис. 42). Отметим, что если

Рис. 42

число представлено в тригонометрической форме то умножение на первый множитель дает указанную здесь гомотетию, а на второй — поворот.

Упражнения

(см. скан)