§ 4. Основная теорема алгебры многочленов и ее следствия

1. Основная теорема алгебры многочленов.

Мы доказали в п. 3 § 2 главы 1, что алгебраический многочлен степени не может иметь больше чем корней. Возникает вопрос, всегда ли многочлен степени имеет ровно корней или же число корней может оказаться меньше Мы покажем ниже, что любой многочлен степени с комплексными коэффициентами всегда имеет ровно корней. При этом если среди корней есть кратные, то они считаются столько раз, какова их кратность.

Сформулированные сейчас утверждения вытекают из следующей теоремы, которую (ввиду ее важности) называют основной теоремой алгебры многочленов.

Теорема. Любой многочлен ненулевой степени имеет хотя бы один комплексный корень.

Коэффициенты многочлена могут быть любыми комплексными числами (в частности — действительными числами); нужно лишь, чтобы степень многочлена была отлична от нуля.

Доказательство этой теоремы весьма сложно, и мы не будем его здесь приводить.

Покажем теперь, как из основной теоремы алгебры многочленов вытекает утверждение о числе корней многочлена. Сначала докажем методом математической индукции следующую лемму.

Лемма. Любой многочлен степени

может быть представлен в виде произведения линейных множителей

Доказательство. При утверждение очевидно — многочлен имеет вид вынося за скобку а, мы приведем его к виду , что и требовалось доказать.

Предположим, что для многочленов степени уже доказана возможность представить их в виде произведения линейного множителя. Покажем, что тогда и многочлен степени можно представить в аналогичном виде. В самом деле, пусть

— многочлен степени. По основной теореме алгебры многочленов этот многочлен имеет по крайней мере один комплексный корень . Но тогда по теореме Безу многочлен делится на так что его можно представить в виде

Ясно, что — многочлен степени, старший коэффициент которого равен Поэтому по предположению индукции его можно представить в виде

Из равенств (2) и (3) следует, что

Значит, и многочлен степени можно представить в виде произведения линейных множителей.

Итак, утверждение доказано для многочленов первой степени и показано, что из его справедливости для многочленов степени вытекает, что оно верно и для многочленов степени. Поэтому оно верно для всех многочленов любой ненулевой степени.

Теперь уже легко доказать утверждение о числе корней многочлена. Возьмем любой многочлен степени и запишем его в виде произведения линейных множителей

Ясно, что числа являются корнями нашего многочлена — при подстановке вместо одного из этих чисел хотя бы один из сомножителей в (4) обращается в нуль. В то же время ни одно из чисел, отличных отаь не является корнем многочлена если подставить такое число вместо х в разложение (4), то ни одна из скобок не обратится в нуль, а произведение отличных от нуля комплексных чисел само отлично от нуля.

Итак, мы доказали, что многочлен степени имеет ровно корней . Разумеется, среди этих корней могут оказаться и совпадающие. Тогда соответствующий корень считается столько раз,

сколько раз он встречается среди чисел . Но если а встречается среди чисел ровно раз, то многочлен делится на и не делится на Значит, а является корнем кратности многочлена

Из приведенных рассуждений вытекает справедливость следующей теоремы:

Теорема. Каждый многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет корней, где каждый корень считается столько раз у какова его кратность.

Упражнения

(см. скан)