3. Определение цепной дроби.

Введем следующее общее определение:

Всякое выражение вида

где могут быть любыми действительными или комплексными числами, а также функциями от одной или нескольких переменных, называется конечной цепной (или непрерывной) дробью. называются частными числителями

а частными знаменателями или неполными частными. В записи (1), естественно, предполагается, что Это условие не касается которое может быть равным нулю.

Для получения приближенных значений дробей используют частный вид цепных дробей, у которых все числители равны , а знаменатели — натуральные числа

Форма записи (2), как и форма (1), очень громоздка; поэтому вместо (2) часто употребляются упрощенные записи, например

или

Все же часто мы будем пользоваться развернутой записью (2).

Ясно, что всякая цепная дробь вида (2) выражает некоторое рациональное число. Чтобы получить выражение этого числа в виде обыкновенной дроби, надо «свернуть» цепную дробь, выполняя (начиная «с конца») все указанные операции.

Пример. Вычислить значение цепной дроби

Здесь . Вычисление будет состоять из следующих шагов:

Ответ:

Обращение конечной цепной дроби в обыкновенную — всегда выполнимая задача. На это потребуется не более чем шагов, каждый из которых состоит в сложении двух чисел: целого числа и правильной дроби.

Упражнения. Вычислить цепные дроби:

(см. скан)