10. Краткие исторические сведения.
Теоретико-множественные представления в неявной форме давно использовались математиками. Геометры древней Греции в III веке до н. э. рассматривали «геометрические места точек», то есть множества точек, обладающих тем или иным свойством. Однако трудности, связанные с понятием бесконечности, привели к тому, что в течение длительного времени математики избегали рассматривать геометрические фигуры как множества точек.
Исследования по бесконечным множествам начали чешский ученый Б. Больцано (1781—1841) и немецкий математик Г. Кантор (родился в 1845 г. в Петербурге, умер в 1918 г. в Галле). Труд Больцано был опубликован лишь через много лет после его смерти. Основные заслуги в развитии теории множеств принадлежат Кантору. Он пришел к проблемам этой теории, исходя из сравнительно узкой математической задачи (вопроса о сходимости и расходимости тригонометрических рядов). Однако вскоре ему и его последователям стало ясно, что теория множеств имеет важнейшее значение для различных областей математики. Сейчас теория множеств дает общепринятый язык для многих разделов математики. В целом ряде случаев применение
теоретико-множественных понятий позволило привести в систему многие ветви математики. Большой вклад в теорию множеств сделан трудами советских математиков П. С. Александрова, А. Н. Колмогорова, Н. Н. Лузина, П. С. Новикова, М. Я. Суслина и других. Советская школа теории множеств оказала сильное влияние на развитие этой части математики во всем мире.
Вскоре после создания теории множеств выяснилось, что «наивная» трактовка понятия бесконечного множества может привести к противоречиям. Исследования в этом направлении потребовали развития математической логики. Первоначально эта область математики была очень далека от практических приложений, но впоследствии ее принципы составили идейную основу конструирования электронных вычислительных машин и программирования вычислений на этих машинах.
Правила действий над высказываниями, во многом известные еще Аристотелю (создателю формальной логики), были более подробно сформулированы Г. В. Лейбницем, которого часто считают создателем математической логики. Алгебраическую форму этим правилам придали английские математика Дж. Буль (1815—1864) и А. де Морган (1806—1871). По сути дела, эти правила совпадают с указанными выше правилами действий над множествами. Большой вклад в развитие математической логики внесли Г. Фреге, Б. Рассел, Д. Гильберт, К. Гёдель, А. Тарский, советские математики П. С. Новиков, А. Н. Колмогоров, А. А. Марков и другие.
