4. Многочлены.
Пусть 
целая рациональная функция. Как уже говорилось, ее выражение через х может иметь различный внешний вид. Например, выражения
тождественно равны друг другу и потому задают одну и ту же функцию. Поэтому возникает задача — представить данную целую рациональную функцию в «стандартном», «каноническом» виде. Мы будем считать запись целой рациональной функции канонической, если она не содержит скобок и подобных членов, а слагаемые в ней расположены в порядке убывания показателей степеней х (для рассмотренного выше примера такой записью является 
).
Приведение к канонической форме делается так. Раскрывают все скобки с помощью дистрибутивного закона 
После раскрытия скобок заменяют все произведения степеней переменного по правилам 
приводят подобные члены и располагают члены в порядке убывания показателей степени. В результате получается выражение вида
где 
Такое выражение называют многочленом от 
— степенью этого многочлена. Числа 
называют коэффициентами многочлена 
. В частности, 
называют коэффициентом при старшем члене, 
— свободным членом. Если 
многочлен называют приведенным. Например, 
приведенный многочлен пятой степени от х со свободным членом —6.
Числа с 
мы будем рассматривать как многочлены нулевой степени. Многочлен же, все коэффициенты которого равны нулю (нулевой многочлен), степени не имеет.
Приведение данного целого рационального выражения к каноническому виду можно выполнить различными путями. Например, в выражении
можно сначала перемножить 
на 
а можно сначала перемножить 
на 
. Поэтому возникает следующий вопрос: могут ли два различных многочлена тождественно равняться одному и тому же целому рациональному выражению?
Мы покажем ниже, что ответ на этот вопрос отрицателен: если два многочлена тождественно равны, то они имеют одинаковые степени, а коэффициенты при одинаковых степенях х в обоих многочленах совпадают. Поэтому, чтобы убедиться в тождественном равенстве двух целых рациональных выражений, надо привести их к каноническому виду (т. е. к виду многочленов) и проверить, что получившиеся многочлены совпадают.
Пример. Доказать тождество
Имеем:
и
Так как получились одинаковые многочлены, то заданные целые рациональные выражения равны.
Упражнения
(см. скан)
