§ 3. Симметрические многочлены и их приложения к решению систем уравнений

1. Симметрические многочлены от двух переменных.

При решении многих задач геометрии весьма полезным оказывается использование симметрии и ее свойств. В алгебре также существенную помощь в решении задач оказывает учет симметричности тех или иных алгебраических выражений. Разумеется, понятия симметрии в геометрии и в алгебре имеют различный смысл. В алгебре оно означает, что данное выражение не меняется при перестановке входящих в него букв. Например, выражение симметрично относительно х и у, но не симметрично относительно Если переставить и у, то получится выражение, отличающееся от заданного лишь порядком сомножителей, а если переставить получаем совсем иное выражение

Мы изучим сейчас симметрические многочлены от двух переменных, то есть такие многочлены что

Например, многочлен симметричен. Многочлен же не является симметрическим. Если заменить в нем х на у, а у на х, то получится многочлен который не совпадает с первоначальным.

Простейшими симметрическими многочленами от двух переменных х и у являются сумма и произведение этих переменных, то есть Введем для этих многочленов специальные обозначения:

Симметрическими являются многочлены вида Их называют степенными суммами. Принято обозначать многочлен через . Таким образом,