5. Применение симметрических многочленов к решению иррациональных уравнений.

Решение некоторых иррациональных уравнений можно свести к решению систем симметрических алгебраических уравнений. Рассмотрим иррациональное уравнение

Здесь выгодно ввести два вспомогательных неизвестных, положив

Тогда заданное уравнение примет вид: . Кроме того, имеем: Таким образом, мы получили следующую систему уравнений относительно :

Введем новые неизвестные: . Так как и , то мы получим новую систему уравнений:

Подставим во второе уравнение значение . Получим квадратное уравнение относительно :

Решая его, находим Таким образом, задача свелась к решению двух систем уравнений:

Первая из этих систем имеет два решения: . Так как и , то для первоначального уравнения находим два значения корней:

Вторая система не имеет действительных корней.

Итак, заданное уравнение имеет лишь два корня: .

Упражнение 35. Решите следующие иррациональные уравнения:

(см. скан)