7. Функции комплексного переменного и преобразования комплексной плоскости.

В анализе мы познакомились с функциями действительного переменного. Совершенно так же определяется, что такое функция комплексного переменного. Именно если каждому числу из некоторого множества А поставлено в соответствие некоторое число , то говорят, что задана функция . С некоторыми функциями мы уже встречались: на стр. 210 с функцией , а на стр. 217 — с функцией .

В отличие от функций действительного переменного функции комплексного переменного нельзя изображать с помощью графика. Ведь для переменной нужны две координаты х и у, для переменной нужны еще две координаты, а всего 4 координаты. Ясно,

что «график» функции комплексного переменного не может быть изображен в трехмерном пространстве.

Для функций комплексного переменного пользуются иной формой описания — с каждой такой функцией связывают преобразование комплексной плоскости. Именно, каждой точке множества ставят в соответствие точку . Иногда берут два экземпляра комплексной плоскости — плоскость и плоскость до и ставят в соответствие точке на первой плоскости точку на второй плоскости. При этом вместо преобразования плоскости получают отображение плоскости на плоскость .

Мы уже рассматривали некоторые геометрические преобразования, связанные с функциями комплексного переменного. Так, функции соответствует параллельный перенос на вектор с координатами а и а функции — преобразование, сводящееся к гомотетии с коэффициентом и повороту на угол с вокруг начала координат.

Задание функции комплексного переменного сводится по сути дела к заданию двух функций, каждая из которых зависит от двух действительных переменных. Возьмем, например, функцию . Пусть Тогда эту функцию можно записать так:

Но два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительная и мнимая части. Поэтому из равенства (1) получаем:

Из формул (2) видно, что, например, точка переходит при этом преобразовании в точку , точка — в точку и т. д.

Посмотрим, в какую линию переходит при преобразовании прямая . Для этого положим в равенствах Мы получим:

Исключим из этих равенств х. Для этого найдем х из второго равенства и подставим в первое равенство. Мы получим уравнение

Оно является уравнением параболы на плоскости Ось этой параболы совпадает с осью а вершина находится в точке Точно так же устанавливается, что прямые переходят в параболы

Таким образом преобразование переводит координатную сетку на плоскости в сетку, состоящую из двух семейств парабол (рис. 45). Через каждую точку плоскости проходит по одной параболе каждого семейства. Эти параболы пересекаются под прямым углом — преобразование меняет вид кривых, но сохраняет углы между ними (исключением является лишь точка в этой точке при преобразовании все углы удваиваются). Преобразования, сохраняющие углы между кривыми, называются конформными.

Рассмотрим еще преобразование («обратная пропорциональность»). Если то

Рис. 45

Таким образом, при преобразовании точка с модулем и аргументом переходит в точку с модулем — и аргументом . Это преобразование можно разбить на два.

Первое из них состоит в том, что модуль числа не меняется, а аргумент заменяется на При этом преобразовании точка переходит в точку, симметричную с ней относительно оси абсцисс. При втором преобразовании аргумент числа остается неизменным, а модуль заменяется на При этом преобразовании точки остаются на том же самом луче, проходящем через начало координат, но их расстояние до начала координат заменяется обратным числом. Второе преобразование называют в геометрии инверсией с центром в точке О (и коэффициентом 1) или, иначе, симметрией относительно единичной окружности. Последнее название связано с тем, что при инверсии точки единичной окружности остаются неподвижными.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)