2. Сведение иррациональных уравнений к рациональным.
Для решения иррациональных уравнений стараются свести их к рациональным уравнениям. С этой целью обе части уравнения после соответствующих преобразований возводят в одну и ту же степень. Чтобы показать, что при этом не происходит потери корней, докажем следующую теорему.
Теорема. Если число а — корень уравнения 
, то это число удовлетворяет и уравнению
Доказательство. По условию имеет место равенство 
Возведем обе части этого равенства в 
степень. Равенство от этого не нарушится, и мы 
что 
Это показывает, что а — корень уравнения
Итак, при возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень мы получаем уравнение, являющееся следствием исходного. Однако это уравнение при четных 
неравносильно исходному. Ведь если из равенства 
вытекает 
то обратное неверно. Именно 
следует лишь, что 
. Если при этом 
имеют одинаковые знаки, то 
. Если же они имеют различные знаки, то 
. Таким образом, корень уравнения 
может удовлетворять не только уравнению 
но и уравнению 
Во втором случае он является посторонним для уравнения 
. Если же показатель 
нечетен, 
, то из 
следует, что 
. Поэтому уравнения 
равносильны.
Итак, если при решении уравнения нам пришлось возводить обе его части в степень с четным показателем, то могли получиться посторонние корни. Чтобы выяснить, какие из корней уравнения 
удовлетворяют исходному уравнению 
надо подставить их в исходное уравнение и посмотреть, удовлетворяют они уравнению или нет.
Примеры
1) Решить уравнение
Возводя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение:
Его корнем является 
. Но 
не удовлетворяет уравнению (1) — после подстановки 
получается неверное равенство. Следовательно, уравнение (1) решений не имеет.
2) Решить уравнение
Здесь после возведения в квадрат получаем уравнение:
Его корнем является 
Проверка показывает, 
удовлетворяет уравнению (2).
3) Решить уравнение
Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем квадратное уравнение 
Его корнями являются 
Проверка показывает, что только корень 
удовлетворяет заданному уравнению. Корень же 
удовлетворяет уравнению 
