7. Многочлены с целыми коэффициентами.

Мы установили некоторые общие теоремы о корнях многочленов. Однако до сих пор мы можем искать лишь корни многочленов первой и второй степени — в начальной алгебре изучается, как решать линейные и квадратные уравнения. Позже мы научимся решать некоторые уравнения высших степеней и тем самым находить корни соответствующих многочленов. Но во многих случаях удается найти корни, не прибегая к теории уравнений высших степеней с произвольными коэффициентами или к методам вычислительной математики. Речь идет о случае, когда ищутся целые корни многочленов с целыми коэффициентами. При этом мы ограничимся случаем, когда многочлен приведен, то есть когда коэффициент при его старшем члене равен единице.

Докажем следующую теорему.

Теорема 2. Пусть

— приведенный многочлен степени, все коэффициенты которого — целые числа. Тогда любой рациональный корень этого многочлена — целое число.

Доказательство. Пусть — корень многочлена причем — несократимая дробь. Тогда имеет место равенство то есть Умножим обе части этого равенства на Все члены, кроме первого, окажутся целыми числами, а тогда и — должно было бы

быть целым числом. Но это не так: поскольку не имеют общих делителей, то их не имеют и Значит, многочлен не может иметь рациональных корней, не являющихся целыми числами.

Перейдем к отысканию целых корней многочлена.

Имеет место следующая

Теорема 3. Пусть

— приведенный многочлен с целыми коэффициентами. Любой целый корень а этого многочлена является делителем его свободного члена.

Доказательство. Пусть а — целый корень многочлена Тогда имеет место равенство

Его можно записать так:

Так как — целые числа, то выражение в скобках — целое число. Отсюда и следует, что делится на а.

Из теоремы 3 вытекает следующий метод нахождения целых корней приведенного многочлена с целыми коэффициентами: надо выписать все делители свободного члена и по очереди подставить их в многочлен. Те делители, подстановка которых обратит многочлен в нуль, и являются его целыми корнями. Других целых корней этот многочлен не имеет. Для каждого найденного корня надо определить его кратность.

Подстановка делителей свободного члена может оказаться очень утомительным занятием. Чтобы уменьшить число проверяемых корней, полезно воспользоваться следующим обобщением теоремы 3.

Теорема 4. Пусть — приведенный многочлен с целыми коэффициентами и а — его целый корень. Тогда для любого целого число делится на

Для доказательства воспользуемся теоремой Безу. По этой теореме остаток от деления на равен Поэтому . В силу замечания на стр. также является приведенным многочленом с целыми коэффициентами. Подставим в обе части равенства Так как а — корень многочлена то и мы получаем: . Таким образом,

Так как — целое число, то из равенства (1) следует, что делится на

В силу доказанной теоремы отбор чисел, подлежащих проверке, надо проводить так. Сначала берут все делители свободного члена. Пусть это будут числа После этого вычисляют . Если — корень многочлена то должно быть делителем Поэтому из чисел выбирают те, для которых является делителем . После этого вычисляют и выбирают из оставшихся чисел то, для которых делитель . Если и после этого осталось слишком много «претендентов», то вычисляют и берут те из оставшихся чисел, для которых — делитель

Пример. Найти целые корни многочлена

Делителями свободного члена являются числа

Мы имеем Вычитая из чисел (2) единицу, получаем множество чисел 0, —2, 1, —3, 2, —4, 4, —6, 5, —7, 9, —11, 14, —16, 29, —31. Из них лишь числа —2, 1, 2, —4, 4, —16 являются делителями 16. Поэтому из делителей (2) остаются лишь —1, 2, 3, —3, 5, —15. Теперь находим к числам —1, 2, 3, —3, 5, —15 прибавляем единицу и получаем 0, 3, 4, —2, 6, —14. Из этих чисел лишь 3, 4, —2, 6 являются делителями числа 24. Поэтому остается проверить лишь делители свободного члена: 2, 3, —3, 5. Подстановка этих делителей в многочлен показывает, что его целыми корнями являются числа

Из теоремы Безу вытекает, что многочлен делится на . Выполняя деление, получаем, что

Отсюда видно, что оба корня не являются кратными: ни ни не обращают в нуль

Упражнения