2. Теорема Безу. Схема Горнера.

Пусть многочлен степени и — некоторое число. Разделим многочлен на двучлен . Так как степень этого двучлена равна единице, то остаток является некоторым числом . Итак, мы получаем тождество

Чтобы вычислить значение подставим в обе части тождества (1) значение Мы получим, что . Итак, нами доказана следующая важная теорема.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена на двучлен равен (то есть результату подстановки числа в многочлен

Примеры

1) Остаток от деления многочлена

на равен

2) Многочлен делится без остатка на . В самом деле, Многочлен делится без остатка на а. В самом деле,

Деление многочлена

на двучлен удобно выполнять по так называемой схеме Горнера. Обозначим неполное частное при делении на через , а остаток — через Так как то имеем тождество

Раскроем в правой части этого равенства скобки и сравним коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Мы получим, что и при имеют место соотношения Отсюда следует, что при

Вычисление коэффициентов многочлена и остатка записывают в виде следующей таблицы:

Она называется схемой Горнера. В первой строке этой таблицы записаны коэффициенты многочлена При заполнении второй строки этой таблицы надо записать в первую клетку Если уже заполнено несколько клеток второй строки, то следующая пустая клетка заполняется так: берут стоящее над ней число первой строки и прибавляют к произведению числа на предыдущий элемент второй строки.

Так как по теореме Беэу , то схема Горнера позволяет находить значения многочлена при . Во многих случаях вычисление по схеме Горнера удобнее, чем непосредственная подстановка в многочлен

Пример. Вычислим по схеме Горнера значение где

Значит,

Упражнения

(см. скан)