8. Извлечение квадратных корней из комплексных чисел.

Пусть с — комплексное число. Квадратным корнем из этого числа называют комплексное число такое, что . В этом случае пишут: . Найдем выражение для через а и . Пусть . Тогда имеем:

или, иначе,

Это равенство равносильно системе уравнений:

Чтобы решить эту систему, найдем из второго уравнения и подставим в первое уравнение. Мы получим уравнение, содержащее лишь неизвестное и

или

Это биквадратное уравнение. Решая его относительно находим, что

Но и должно быть действительным числом, а потому положительно. Так как то и потому Итак, для мы должны взять лишь первое выражение. А тогда для и находим два значения — одно положительное, а второе отрицательное:

Число и обращается в нуль, лишь если и а — отрицательное число (в этом случае а но решение уравнения мы уже рассмотрели в Потому можно считать, что Подставляя значение в равенство находим

Полученное выражение для можно преобразовать, умножив числитель и знаменатель дроби на .

Так как

то

Но это знак числа или, иначе,

Поэтому

Например,

Мы показали, что из любого комплексного числа можно извлечь квадратный корень, причем если , то этот корень имеет два значения, отличающиеся друг от друга знаком.

Упражнения