§ 3. Примеры вычисления вероятностей

В этом параграфе мы рассмотрим ряд примеров вычисления вероятностей. При этом будет использоваться непосредственный подсчет общего числа равновозможных случаев и числа благоприятствующих случаев на основе комбинаторных задач, а также теоремы сложения и умножения вероятностей, рассмотренные в начале настоящей главы.

Пример 1. Бросаются две игральные кости (кубики). Найти вероятность того, что на обеих костях окажется:

а) одинаковое число очков;

б) различное число очков.

Решение. Подсчитаем сначала общее число возможных результатов. Каждый результат бросания двух костей можно описать в виде некоторого размещения из шести элементов (шесть возможностей для числа выпавших очков) по два (бросаются две кости) с повторениями (может выпасть одно и то же число очков на обеих костях). Поэтому общее число элементарных событий есть

Очевидно, все элементарные события следует считать равновероятными.

Число случаев, благоприятствующих появлению одинакового числа очков, равно 6. Отсюда следует, что ответом для задачи а) является вероятность

Событие, указанное в задаче б), является противоположным первоначальному, и его вероятность удовлетворяет условию

откуда

Пример 2. В городе имеется велосипедов, занумерованных различными номерами от 0000 до 9999. Какова вероятность того, что номер первого встречного велосипеда будет содержать хотя бы одну цифру 8?

Решение. Найдем сначала вероятность того, что ни одна цифра случайно встреченного номера не будет восьмеркой.

Для первой цифры вероятность не быть восьмеркой равна 0,9, так как всех равновероятных возможностей — различных цифр — десять, а отличных от восьмерки — девять. Значения цифр в различных разрядах независимы. Тогда вероятность того, что все четыре цифры отличны от 8, можно определить как вероятность совмещения событий. Она равна .

Искомая вероятность есть вероятность противоположного события, а потому равна

Пример 3. Абонент, забывший одну цифру нужного ему номера телефона, набирает эту цифру наудачу. Какова вероятность, что ему придется звонить не более двух раз?

Решение. Представим для удобства рассуждений, что абонент всегда звонит дважды, независимо от результата первой попытки. Общее число равновозможных случаев представляет здесь число размещений из 10 цифр по две без повторений, поскольку два раза звонить по одному телефону не имеет смысла. Следовательно, это будет Благоприятствующими будут те случаи, когда нужная цифра встретится на первом или втором месте в комбинации с любой другой. Ясно, что таких случаев Искомая вероятность равна, следовательно,

Пример 4. В отделении 12 солдат. В наряд назначаются два человека наугад. Какова вероятность попасть в наряд для каждого данного солдата?

Решение. Общее число различных парных нарядов в этом случае мы уже подсчитывали в примере 4 из § 1 предыдущей главы. Оно разно Число парных нарядов, не содержащих данного солдата, по тем же соображениям равно Поэтому вероятность не попасть в наряд равна а искомая вероятность попасть в наряд

Пример 5. В некоторой партии изделий число бракованных составляет 4%. Из числа годных изделий 75% являются первосортными. Какова вероятность того, что случайно выбранное изделие будет первосортным?

Решение. Пусть событие А означает, что изделие является годным, а событие В — что изделие относится к первому сорту. Тогда по условию

Искомая вероятность есть вероятность совмещения событий и по теореме умножения равна:

Пример 6. В некоторой лотерее имеется всего билетов, из которых являются выигрышными. Определить вероятность хотя бы одного выигрыша для лица, обладающего билетами.

Решение. Общее число равновозможных случаев выбора билетов из имеющихся равно числу сочетаний С. Так как

невыигрышных билетов имеется , то число элементарных событий, благоприятствующих событию «не выиграть ни на один билет», равно . Следовательно, вероятность не выиграть ни на один билет равна Требуемое событие выиграть хотя бы на один билет является противоположным, и его вероятность равна

Пример 7. Из карточной колоды с 36 картами извлекается наугад одна карта. Какова вероятность извлечь картинку (короля, даму или валета) любой масти или карту пиковой масти?

Решение. Так как в колоде всего 12 картинок, то вероятность извлечь картинку равна Вероятность извлечь карту пиковой масти равна Остается воспользоваться теоремой сложения.

Однако необходимо учесть, что рассматриваемые события совместимы, так что следует воспользоваться расширенной теоремой сложения (см. формулу (9) из § 2), которая дает:

Это и есть искомая вероятность.

Примере. Шесть пассажиров садятся на остановке в трамвайный поезд, состоящий из трех трамвайных вагонов. Какова вероятность того, что:

а) все пассажиры сядут в один вагон;

б) хотя бы в один вагон не сядет ни один пассажир;

в) в каждый вагон сядут по два пассажира?

Решение. Число различных способов, которыми пассажиры могут разместиться в вагонах, подсчитывалось в примере 6 из § 5 предыдущей главы. Так как нас заведомо интересует лишь число пассажиров в каждом вагоне, то это число различных способов есть число сочетаний с повторениями Число благоприятствующих событий подсчитывается непосредственно.

а) Благоприятствующих событий три — все пассажиры сели в первый вагон, или во второй, или в третий. Искомая вероятность

б) Благоприятствующих событий 6: в трех случаях свободным остается один вагон и в трех случаях — два вагона. Искомая вероятность

в) Благоприятствующих событий одно. Вероятность равна