3. Сложение комплексных чисел; умножение на действительные числа.
Определим теперь в множестве комплексных чисел две операции: сложение и умножение на действительные числа. Эти операции определяются «покоординатно», то есть формулами
Так как
то для чисел вида 
которые мы отождествили с действительными числами а, введенные операции совпадают с обычными операциями сложения и умножения действительных чисел.
Кроме того, легко проверить, что сложение комплексных чисел коммутативно и ассоциативно.
Введенное нами обозначение 
для комплексных чисел неудобно тем, что действительные числа приходится обозначать 
. Поэтому обычно пользуются иной записью этих чисел. Обозначим комплексное число 
через 
. Тогда по формулам (1) и (2) имеем:
Так как 
тождественно с 
обозначено 
то эту запись можно представить в виде:
В дальнейшем мы и будем обозначать комплексные числа в виде 
(мы не могли пользоваться этой записью с самого начала, так как не были определены действия сложения и умножения на действительное число, а потому запись 
не имела смысла).
Сложение комплексных чисел и умножение их на действительные числа записываются теперь следующим образом:
Кроме того, напомним, что равенство 
равносильно двум равенствам: 
.
Разностью комплексных чисел 
называют такое комплексное число и 
что 
. Из правила сложения комплексных чисел выводим, что
Это равенство равносильно двум равенствам:
из которых получаем: 
Итак,
Упражнения
(см. скан)
