6. Деление комплексных чисел.

Мы определили в множестве комплексных чисел операции сложения, вычитания и умножения, причем эти операции обладают теми же свойствами, что и соответствующие операции над действительными числами. Поэтому множество комплексных чисел образует кольцо. Сейчас мы покажем, что это множество является полем, то есть что в нем определена операция деления на любое отличное от нуля число.

Пусть — два комплексных числа, причем с (напомним: это означает, что хоть одно из чисел отлично от нуля). Частным от деления на называют комплексное число такое, что Покажем, что такое число существует и единственно.

По формуле (1), п. 4, равенство или, что то же,

переписывается так:

Но два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительная и мнимая части. Поэтому из (1) получаем систему линейных уравнений:

Эта система имеет единственное решение:

(знаменатель дробей отличен от нуля, так как по условию хотя бы одно из чисел отлично от нуля).

Итак, если то существует одно и только одно комплексное число такое, что Это число называется частным от делениягнаши обозначается . Из формулы (2) следует, что

Упражнения

(см. скан)

Замечание. Правила алгебраических преобразований не изменяются при переходе от действительных чисел к комплексным. В противоположность этому теория неравенств не может быть распространена на комплексные числа. Разумеется, можно (и даже многими различными способами) условиться, какое из двух произвольных комплексных чисел считать большим, а какое меньшим.

Например, можно условиться считать, что когда а если — когда Однако для комплексных чисел невозможно определить понятия «больше» и «меньше» так, чтобы сохранились в силе известные ранее связи этих понятий с арифметическими действиями. В самом деле, предположим, что мы каким-нибудь способом определили для комплексных чисел понятие «больше» так, что из двух различных комплексных чисел одно и только одно всегда больше другого. Тогда должно быть или или Если то, умножая обе части этого неравенства на число (которое по предположению положительно), мы должны получить, в силу известного свойства неравенств, тогда как в действительности Точно так же если то, умножая обе части этого неравенства на число (которое теперь по предположению отрицательно), мы снова должны прийти к неравенству которое противоречит тому, что