§ 4. Полная вероятность. Формула Байеса

При вычислении вероятностей сложных событий часто приходится одновременно применять теоремы сложения и умножения. Рассмотрим следующий пример.

Пример 1. Имеется три одинаковых на вид урны с различным составом белых и черных шаров. Пусть в первой урне находится белых и черных шаров, во второй урне соответственно белых и черных и, наконец, в третьей — белых и черных шара. Выбирается наугад одна из урн, и из нее вынимается один шар. Требуется определить вероятность того, что вынутый шар окажется белым.

Решение. Сделаем сначала предположение, что шар вынут из первой урны. Можно сказать, что это предположение означает наступление события или осуществление гипотезы Так как выбор любой урны равновероятен, то вероятность этой гипотезы равна Из предположения о составе шаров следует, что вероятность вынуть белый шар из первой урны (событие ) равна

Рассмотрим сложное событие, состоящее в том, что выбрана первая урна и вынутый из нее шар оказался белым. Тогда вероятность такого события в силу теоремы умножения будет равна:

(см. формулу (4) предыдущего параграфа). Точно так же вероятность вынуть белый шар из второй урны есть вероятность сложного

события, состоящего в совмещении события Н2 (выбрана вторая урна) и события А2 (из второй урны вынут белый шар), в результате чего эта вероятность равна

а для третьей урны

Пусть теперь событие А означает извлечение белого шара независимо от того, из какой именно урны он был вынут. Тогда, учитывая, что события являются несовместными, ибо выбирается лишь одна урна, мы можем воспользоваться для нахождения вероятности события теоремой сложения, которая дает

Сформулируем теперь общую задачу. Пусть события Ни образуют полную группу событий и при наступлении каждого из них, например событие А может наступить с некоторой условной вероятностью Какова вероятность наступления события А?

Воспользовавшись, как и в примере, с которого мы начали, теоремой умножения, найдем, что вероятность наступления А при условии наступления равна

Аналогично

Теперь для нахождения вероятности события А можно воспользоваться теоремой сложения, так как события несовместны. Складывая все равенства (1) и (2), приходим к формуле:

или, короче,

Формула (3) называется формулой полной вероятности.

События обычно называют в таких случаях гипотезами 1. В рассмотренном выше примере 1 имелось три гипотезы которые были равновероятны между собой:

Пример 2. При разрыве снаряда образуются крупные, средние и мелкие осколки, причем число крупных осколков составляет 0,1 их общего числа, а число средних и мелких — соответственно 0,3 и 0,6 общего числа осколков. При попадании в танк крупный осколок пробивает броню с вероятностью 0,9, средний — с вероятностью 0,3 и мелкий — с вероятностью 0,1. Какова вероятность того, что попавший в броню осколок пробьет ее?

Решение. В нашем примере имеется три гипотезы, вероятности которых Пользуясь формулой полной вероятности (3), находим:

Используя формулу полной вероятности, можно получить еще одну важную формулу, которая называется формулой Бейеса или формулой вероятностей гипотез.

Пусть мы имеем некоторую полную группу событий — гипотез вероятность каждой из которых до производства опыта имеет определенное значение. Предположим, что в результате опыта наступило некоторое событие А. Появление этого нового сведения — наступление события А — может повлечь за собой изменение первоначальных вероятностей гипотез.

Поясним сказанное примером. Пусть урна содержит три шара белого и черного цвета, однако распределение числа шаров по цветам неизвестно. До производства опыта о содержимом урны можно сделать четыре гипотезы:

1) 3 белых и 0 черных

2) 2 белых и 1 черный

3) 1 белый и 2 черных

4) 0 белых и 3 черных

которые мы будем считать равновероятными: Допустим, что в результате опыта был

вынут белый шар (событие А). В таком случае вероятность гипотезы делается равной нулю. Вероятности остальных трех гипотез также изменятся, причем их уже нельзя будет считать равновероятными; вероятность гипотезы например, больше, чем вероятность гипотезы

Поставим вопрос в общем виде: выяснить, каковы будут вероятности гипотез после опыта в предположении, что в результате опыта наступило событие А.

Обозначим вероятности гипотез до производства опыта соответственно через

Вероятности тех же гипотез после опыта, в результате которого наступило событие А, обозначим через

причем снова

так как события по-прежнему несовместны и единственно возможны. Обозначим условную вероятность через и полную вероятность события А через

Пользуясь равенством (6) предыдущего параграфа, которое следует из теоремы умножения, напишем:

или с введенными обозначениями

Отсюда

Подставляя сюда выражение для полной вероятности Р из формулы (3), получим:

Нетрудно проверить, что сумма всех вероятностей действительно равна единице.

Формула (4), дающая выражение вероятности гипотезы после опыта, и есть нужная нам формула Бейеса.

Вернемся снова к нашему примеру. В соответствии с принятыми обозначениями имеем:

Далее находим:

Окончательно получим:

Аналогично: