§ 2. Бесконечные цепные дроби

1. Разложение иррациональных чисел в цепные дроби.

До сих пор мы разлагали в цепные дроби рациональные числа. При этом процесс нахождения частных знаменателей сводился на каждом шагу к выделению целой части неправильной обыкновенной дроби.

Возьмем теперь какое-нибудь иррациональное число, например Алгоритм Евклида здесь неприменим. Однако выделение целой части этого числа — вполне реальная задача. В самом деле, ясно, что так что Значит, число представимо в виде Во втором слагаемом уничтожим иррациональность в числителе:

Таким образом,

Выделим целую часть числа . Значит можно представить в виде . Ясночто поэтому Снова уничтожим иррациональность в числителе второго слагаемого:

В итоге получилось:

Проделаем еще один аналогичный шаг:

Нетрудно заметить, что процесс выделения целой части и образования цепной дроби в данном примере не имеет конца. В каждом новом знаменателе будет появляться 4 и слагаемое . Поэтому ясно, что представляется в виде бесконечной цепной дроби:

Мы видим, что цепные дроби являются хорошим аппаратом для вычисления квадратных корней.

Проверим, насколько полезен этот способ — как точно находится значение с помощью цепных дробей.

Для сравнения будем брать подходящие дроби и обращать их в обыкновенные, а затем полученные обыкновенные — в десятичные. Десятичные приближения, получаемые из подходящих дробей, будем сравнивать со значением , взятым из таблиц Брадиса (15 — 2,236):

Получилось, что уже для четвертой подходящей дроби результат приближения по точности не уступает значению, указанному в четырехзначной таблице значений квадратных корней. Больше того, значение той же подходящей дроби равно значению у 5, указанному в пятизначной таблице. Вообще, нахождение приближений с помощью цепных дробей — мощный вычислительный аппарат.

Возьмем произвольное иррациональное число а. Выделим его целую часть и обозначим ее через

или

где . Далее, пусть — целая часть , то есть . Тогда

где

Пусть тогда

и

Через шагов получим:

где — целое число, — натуральные числа и

Этот процесс бесконечен. В самом деле, ни одно не может оказаться равным нулю. Ведь если какое-то то цепная дробь окажется конечной, а такие дроби являются рациональными числами. Мы же взяли для разложения иррациональное число.

Таким образом, каждому иррациональному числу соответствует бесконечная цепная дробь

для которой — натуральные числа может быть целым числом любого знака).

Построим для полученной дроби последовательность ее подходящих дробей (в отличие от случая разложения рациональных чисел эта последовательность бесконечна). Можно доказать, что последовательность

подходящих дробей сходится к разлагаемому числу а. Мы опускаем здесь это доказательство.