§ 6. Бином Ньютона и его обобщения

В главе I (§ была выведена формула бинома Ньютона:

Через мы обозначили коэффициент при в разложении . Для было получено соотношение которое позволяет вычислять эти коэффициенты один за другим. Сейчас мы получим явную формулу для . Для этого мы покажем, что коэффициенты — не что иное, как число сочетаний из элементов по (именно поэтому в гл. I и было выбрано обозначение

В самом деле, запишем в виде произведения сомножителей:

— и раскроем скобки в этом произведении, причем будем записывать все множители в том порядке, в котором они нам встретятся. Например, запишем

или

Видно, что в формулу (3) входят все размещения с повторениями из букв и а, по две буквы в каждом размещении а в формулу (4) — размещения с повторениями из тех же букв, содержащие по три буквы. То же самое будет в общем случае — после раскрытия скобок в формуле (2) получаются все размещения с повторениями из букв х и а, по букв в каждом размещении.

Приведем подобные члены. Подобными будут члены, содержащие одинаковое количество букв а (тогда и букв х в них будет поровну). Найдем число членов, содержащих k букв а (и, следовательно, букв х). Эти члены являются всевозможными перестановками

с повторениями, составленными из букв а и букв Их число равно

Отсюда вытекает, что после приведения подобных членов коэффициент при окажется равным , то есть числу сочетаний из элементов . Тем самым доказано, что числа в формуле (1) действительно являются числами сочетаний из элементов по

Рассмотрим несколько задач, связанных с формулой бинома Ньютона.

Пример 1. Определить коэффициент при разложении

Решение. Запишем данное нам выражение в виде:

где Отсюда видно, что может получиться только из члена, содержащего . В соответствии с формулой (1) этот член имеет вид:

Для получения нужно при раскрытии скобок взять член, содержащий в первой степени. Этот член имеет вид поэтому искомый коэффициент при равен произведению

Пример 2. С каким коэффициентом входит в разложение

Решение. Выясним сначала, каким числом способов можно представить в виде произведений для чего надо знать, какими способами можно представить число 30 в виде суммы слагаемых 3 и 7. Очевидно, что 30 можно представить в виде суммы десяти троек, и без участия слагаемого 7 других представлений нет. С участием 7 возможно только одно представление так как число семерок, входящих в сумму, должно быть кратно трем, иначе сумма не будет делиться на 3.

Итак, для нахождения коэффициента при нам нужно определить коэффициенты при членах

Как и в предыдущем примере, перепишем наше выражение в виде и воспользуемся формулой (1):

Слагаемое есть только в последнем из выписанных нами членов, и коэффициент при нем равен Еще одно слагаемое вида или входит в слагаемое

при раскрытии произведения

Так как в этой последней скобке коэффициент при равен то коэффициент при члене равен произведению Окончательно, искомый коэффициент при есть сумма

Упражнение 42. Сколько рациональных членов содержится в разложении

(см. скан)

Подставляя в получим другой вывод формулы (1) из § 5. Аналогично, приняв в получим еще одну любопытную формулу:

или, иначе,

то есть для любого сумма сочетаний из элементов по четному числу элементов равна сумме сочетаний из элементов по нечетному числу элементов.

Формулу, аналогичную формуле бинома Ньютона, можно получить и для возведения в степень суммы нескольких слагаемых. Если число слагаемых невелико, то ее легко получить, применяя несколько раз формулу бинома Ньютона. Например, для трех слагаемых можно написать:

раскрывая, в свою очередь, каждое слагаемое справа по формуле (2). При небольших это нетрудно сделать.

Пусть, например, . Тогда получаем:

При находим:

Таким образом, мы получили формулы для квадрата и куба суммы трех слагаемых, которые имеют вид:

Однако для больших не говоря уже о большом числе слагаемых такой способ вывода формулы потребует уже чересчур сложных и громоздких вычислений.

Формулу для возведения в степень суммы нескольких слагаемых можно получить и непосредственно, подобно тому как мы это делали для формулы бинома Ньютона.

Действительно, степень суммы есть произведение одинаковых слагаемых вида . Перемножив все скобки, мы получим сумму произведений, причем в каждом слагаемом будет сомножителей. Общее число слагаемых равно числу размещений с повторениями из элементов по элементов, то есть так как множители, взятые из различных скобок, могут совпадать. Вследствие этого каждое отдельное слагаемое будет иметь вид

Показатели степени удовлетворяют, очевидно, условиям и

то есть все они суть целые неотрицательные числа и их сумма равна .

Чтобы определить коэффициент, который будет стоять у произведения после приведения подобных членов, нужно подсчитать, сколько раз такое произведение может встретиться. Это можно сделать следующим образом.

Каждому произведению (до приведения подобных членов) поставим в соответствие перестановку из элементов . При этом если из первой скобки берется, например, множитель из второй — из третьей — то перестановка имеет вид Иначе говоря, в перестановке на первом месте ставится номер элемента, взятого из первой скобки, на втором — номер элемента из второй скобки и т.д. Например, произведению соответствует перестановка 1, 2, 4, 1, 4, 3.

Ясно, что произведению ставится в соответствие такая перестановка, в которой элемент 1 повторяется на различных местах ровно раз, элемент 2— ровно раз и т. д. В том случае, когда что возможно, соответствующий элемент не входит в рассматриваемую перестановку вовсе.

Из сказанного вытекает, что произведение встречается среди слагаемых столько раз, сколько существует различных перестановок с повторениями из элементов, в которых элемент

1 повторяется а раз, элемент 2 повторяется элемент повторяется раз, то есть

(см. формулу (3) из § 4). Это же число служит коэффициентом при произведении в разложении степени суммы слагаемых.

Полученное можно выразить в виде следующей теоремы.

Теорема. Результат возведения суммы слагаемых в степень имеет вид:

где суммирование распространяется на все возможные системы целых неотрицательных чисел, удовлетворяющие условию

Эту теорему называют полиномиальной, а коэффициенты (5) — полиномиальными коэффициентами.

Легко убедиться в том, что формула бинома Ньютона является частным случаем полиномиальной формулы (6).

Упражнения

(см. скан)