5. Решение обобщенно-треугольной системы линейных уравнений.
Покажем теперь, что любая обобщенно-треугольная система уравнений совместна, и выясним, когда она имеет единственное решение. Сначала разберем случай, когда ранг системы 
равен числу неизвестных 
Тогда система (4), п. 4, имеет вид:
то есть является треугольной. При этом 
Треугольная система уравнений решается очень просто.
Из последнего уравнения системы находим, что 
Подставим это значение в предпоследнее уравнение. Мы получим, что
и поэтому
После этого последовательно определяем 
и т. д. вплоть до 
которое находим из первого уравнения. Мы видим, что треугольная система имеет единственное решение. Следовательно, при 
заданная система уравнений имеет единственное решение. Пусть теперь 
. В этом случае обобщенно-треугольная система имеет вид:
Перенесем слагаемые, содержащие неизвестные 
в правую часть уравнений. Система примет вид:
Эта система имеет бесконечное множество решений. В самом деле, дадим неизвестным 
любые значения 
. Тогда мы получим для отыскания остальных неизвестных 
треугольную систему уравнений:
Решая ее, получим искомые значения для 
. Так как значения неизвестных 
произвольны, то число решений бесконечно.
Например, решим систему уравнений:
Она приводится к обобщенно-треугольной системе: 
Значит, ее ранг равен двум. Перенося слагаемые, содержащие 3 и 4, в первую часть, получаем треугольную систему относительно 1 и 2:
Из этой системы находим:
Любое решение уравнения (5) получится, если придать некоторые значения неизвестным 3 и 4 и вычислить 
по формулам (6).
Подведем итоги исследования:
Всякая система линейных уравнений либо не имеет решений (несовместна), либо имеет единственное решение, либо бесконечное множество решений.
Первый случай будет, если при решении системы методом Гаусса мы придем к уравнению вида
где 
. Второй случай имеет место, если она совместна и ранг системы (число уравнений в обобщенно-треугольной форме) равен числу неизвестных. Третий случай имеет место, если система совместна и ее ранг меньше числа неизвестных.
Упражнения
(см. скан)
