2. Пример цепной дроби.

В некоторых приложениях математики встречаются очень громоздкие дроби. Возникает вопрос, нельзя ли подобрать дробь со сравнительно небольшим знаменателем, достаточно близкую к данной громоздкой дроби. Аппаратом для решения этой задачи являются дроби особого вида, называемые цепными или непрерывными дробями.

Прежде чем излагать общую теорию цепных дробей, рассмотрим следующий пример. Отношение экваториального радиуса Земли к ее полярному радиусу выражается дробью

Попробуем упростить эту дробь. Для этого сначала выделим из нее целую часть: . Оставшуюся дробную часть - преобразуем так:

В знаменателе получившейся дроби снова выделим целую часть:

Это выражение позволяет получить хорошее приближение для рассматриваемой дроби. Ясно, что при отбрасывании в знаменателе дробной части мы получим число которое

больше, чем наша дробь. Если же округлить знаменатель в сторону увеличения, то мы получим дробь которая меньше рассматриваемой. Таким образом,

Разность полученных приближений мала:

Значит, как , так дают приближенное значение для дроби с точностью не меньшей, чем

Если мы хотим получить еще лучшее приближение, надо аналогичным образом преобразовать отброшенную дробную часть

Подставляя это выражение в (1), получаем:

Ясно, что дробь заключена между

Поэтому получаем для границы:

или, преобразуя дроби,

Получились оценки с большими знаменателями, чем в (2). Но их точность существенно выше — погрешность полученных приближений не больше, чем

Продолжая описанный процесс, мы получим в конце концов точное выражение для в виде «многоэтажной» дроби:

Разумеется, полученная дробь менее удобна, чем Но она позволяет получать приближенные значения заданной дроби, имеющие небольшие знаменатели. Чтобы получить такие приближенные значения, надо оборвать процесс на каком-то шагу, заменив смешанное число его целой частью, и превратить полученное выражение в обыкновенную дробь. Дроби вида (4) и называют цепными или, иначе, непрерывными дробями.