Главная > Математический анализ. (Виленкин)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2. Деление многочленов. Корни многочленов

1. Деление многочленов.

В отличие от операций сложения и умножения многочленов операция деления многочленов не всегда выполнима: если — два многочлена, то далеко не всегда найдется третий многочлен такой, что . В этом отношении множество многочленов больше напоминает множество целых чисел, чем множество рациональных чисел (иными словами кольцо многочленов не является полем). Но также, как и для целых чисел, для многочленов всегда определена операция деления с остатком. Мы изучим ее в этом параграфе. При этом будут рассматриваться многочлены, коэффициенты которых принадлежат некоторому числовому полю (многочлены из кольца . Читатель может при желании считать его полем всех действительных чисел или полем всех рациональных чисел.

Определим для многочленов понятие деления с остатком. Пусть даны два многочлена

и

и пусть существуют многочлены такие, что:

1) Имеет место тождество

2) Степень многочлена меньше степени многочлена или

В этом случае многочлен называют неполным частным при делении на — остатком при этом делении. Если то есть если , то говорят, что делится на без остатка, называют частным.

Например, если то из тождества

следует, что неполным частным является , а остатком . Многочлен делится без остатка на так как

Выясним теперь: всегда ли возможно деление с остатком и однозначно ли оно определено? Иными словами, рассмотрим следующие вопросы:

Даны многочлены Существуют ли такие многочлены что и степень меньше степени Если эти многочлены существуют, то однозначно ли они определены?

Вопросы такого типа возникают во многих областях математики. Их называют соответственно вопросами о существовании и единственности решения данной задачи.

Для рассматриваемой здесь задачи мы докажем существование решения, указав способ отыскания неполного частного и остатка по заданным многочленам После этого будет доказано, что решение задачи единственно.

Рассмотрим сначала следующий пример. Пусть Заметим, что если умножить на то получится многочлен имеющий тот же старший член, что и Поэтому степень многочлена

меньше степени многочлена

Если умножить на 2, то получим многочлен , имеющий тот же старший член, что и . Многочлен имеет меньшую степень, чем

Таким образом, мы получили равенство:

где -многочлен меньшей степени, чем Это равенство перепишем так:

В этом случае

Рассмотрим теперь вопрос в общем виде.

Начнем с вопроса о существовании неполного частного и остатка, о возможности операции деления с остатком. Проще всего решается вопрос, если степень меньше степени . В этом случае многочлены удовлетворяют всем поставленным условиям. Рассмотрим теперь случай, когда степень многочлена больше или равна степени многочлена . В этом случае будем строить неполное частное постепенно, вычисляя его члены один за другим. Заметим сначала, что при умножении многочлена на — получим многочлен старший член которого равен то есть старшему члену многочлена Отсюда ясно, что либо многочлен

равен нулю, либо его степень меньше, чем степень многочлена (при вычитании старшие члены взаимно уничтожаются). Если , то делится на без остатка. Пусть и пусть старший член многочлена равен . Тогда степень многочлена

будет меньше степени многочлена . Так как степени многочленов являются целыми неотрицательными числами, то на каком-то шагу процесса мы получим многочлен который либо равен нулю, либо имеет степень, меньшую степени Тогда из равенств (1), (2) и т. д. получаем:

Положим:

Мы получим, что

причем либо либо степень многочлена меньше степени многочлена Тем самым доказано, что операция деления с остатком на многочлен, не равный тождественно нулю, всегда определена.

Докажем теперь, что эта операция определена однозначно. В самом деле, предположим, что

и

где степень многочленов меньше степени . Тогда имеет место равенство

Из него следует, что

Если , то степень правой части этого равенства не больше, чем степени многочленов а потому меньше, чем степень многочлена Левая же часть равенства является произведением многочлена на многочлен поэтому равенство может иметь место лишь в случае, когда то есть когда Тем самым однозначность операции деления с остатком доказана.

Деление многочленов обычно выполняют по схеме «деления уголком». Ниже приведен пример такого деления.

Здесь частное равно а остаток равен

Отметим, что если — приведенные многочлены с целыми коэффициентами, то и неполное частное многочлен того же вида. Это следует из того, что при отыскании частного нам не придется делить на (оно равно 1).

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru