§ 2. Деление многочленов. Корни многочленов

1. Деление многочленов.

В отличие от операций сложения и умножения многочленов операция деления многочленов не всегда выполнима: если — два многочлена, то далеко не всегда найдется третий многочлен такой, что . В этом отношении множество многочленов больше напоминает множество целых чисел, чем множество рациональных чисел (иными словами кольцо многочленов не является полем). Но также, как и для целых чисел, для многочленов всегда определена операция деления с остатком. Мы изучим ее в этом параграфе. При этом будут рассматриваться многочлены, коэффициенты которых принадлежат некоторому числовому полю (многочлены из кольца . Читатель может при желании считать его полем всех действительных чисел или полем всех рациональных чисел.

Определим для многочленов понятие деления с остатком. Пусть даны два многочлена

и

и пусть существуют многочлены такие, что:

1) Имеет место тождество

2) Степень многочлена меньше степени многочлена или

В этом случае многочлен называют неполным частным при делении на — остатком при этом делении. Если то есть если , то говорят, что делится на без остатка, называют частным.

Например, если то из тождества

следует, что неполным частным является , а остатком . Многочлен делится без остатка на так как

Выясним теперь: всегда ли возможно деление с остатком и однозначно ли оно определено? Иными словами, рассмотрим следующие вопросы:

Даны многочлены Существуют ли такие многочлены что и степень меньше степени Если эти многочлены существуют, то однозначно ли они определены?

Вопросы такого типа возникают во многих областях математики. Их называют соответственно вопросами о существовании и единственности решения данной задачи.

Для рассматриваемой здесь задачи мы докажем существование решения, указав способ отыскания неполного частного и остатка по заданным многочленам После этого будет доказано, что решение задачи единственно.

Рассмотрим сначала следующий пример. Пусть Заметим, что если умножить на то получится многочлен имеющий тот же старший член, что и Поэтому степень многочлена

меньше степени многочлена

Если умножить на 2, то получим многочлен , имеющий тот же старший член, что и . Многочлен имеет меньшую степень, чем

Таким образом, мы получили равенство:

где -многочлен меньшей степени, чем Это равенство перепишем так:

В этом случае

Рассмотрим теперь вопрос в общем виде.

Начнем с вопроса о существовании неполного частного и остатка, о возможности операции деления с остатком. Проще всего решается вопрос, если степень меньше степени . В этом случае многочлены удовлетворяют всем поставленным условиям. Рассмотрим теперь случай, когда степень многочлена больше или равна степени многочлена . В этом случае будем строить неполное частное постепенно, вычисляя его члены один за другим. Заметим сначала, что при умножении многочлена на — получим многочлен — старший член которого равен то есть старшему члену многочлена Отсюда ясно, что либо многочлен

равен нулю, либо его степень меньше, чем степень многочлена (при вычитании старшие члены взаимно уничтожаются). Если , то делится на без остатка. Пусть и пусть старший член многочлена равен . Тогда степень многочлена

будет меньше степени многочлена . Так как степени многочленов являются целыми неотрицательными числами, то на каком-то шагу процесса мы получим многочлен который либо равен нулю, либо имеет степень, меньшую степени Тогда из равенств (1), (2) и т. д. получаем:

Положим:

Мы получим, что

причем либо либо степень многочлена меньше степени многочлена Тем самым доказано, что операция деления с остатком на многочлен, не равный тождественно нулю, всегда определена.

Докажем теперь, что эта операция определена однозначно. В самом деле, предположим, что

и

где степень многочленов меньше степени . Тогда имеет место равенство

Из него следует, что

Если , то степень правой части этого равенства не больше, чем степени многочленов а потому меньше, чем степень многочлена Левая же часть равенства является произведением многочлена на многочлен поэтому равенство может иметь место лишь в случае, когда то есть когда Тем самым однозначность операции деления с остатком доказана.

Деление многочленов обычно выполняют по схеме «деления уголком». Ниже приведен пример такого деления.

Здесь частное равно а остаток равен

Отметим, что если — приведенные многочлены с целыми коэффициентами, то и неполное частное — многочлен того же вида. Это следует из того, что при отыскании частного нам не придется делить на (оно равно 1).

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)